Centralne twierdzenie graniczne – teoria
Modele
1. CTG dla sum
$$\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n\mu}{\sigma\sqrt n} $$2. CTG dla średnich
$$\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma \sqrt n}$$
3. CTG dla prób o rozkładzie Bernoulliego (tw.Demoivre’a-Laplace’a)
$$\frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$$
4. CTG dla proporcji
$$\frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$$1. Centralne twierdzenie graniczne dla sum
Twierdzenie mówi, że dla dużej liczby $n$ zmienna losowa $S_n=X_1+…+X_n$, gdzie $X_i$ ma rozkład normalny $N(m \space \sigma)$ ma rozkład:
$$E(S_n)=n \cdot \mu$$ $$Var(S_n)=n \cdot \delta^2$$
Czyli:$ S_n \sim N(n \cdot \mu , \sqrt n \cdot \delta)$
Stąd zmienna losową $S_n$ standaryzujemy następująco (odejmujemy wartość oczekiwaną i dzielimy przez pierwiastek z wariancji czyli odchylenie standardowe)
$$\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n\mu}{\sigma\sqrt n} $$
Dlatego zachodzi:
$$P\Big(\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n\mu}{\sigma\sqrt n} < x \Big)\to \Phi (x)\space dla\space n \to \infty$$
Lekcja 1 – Centralne Twierdzenie Granicze 20:10
Filmik się nie ładuje? Odśwież stronę Pomoc
Wiadomo, że czas dojazdu pewnego studenta na uczelnie jest zmienną o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 30 min i odchyleniem standardowym 4 min. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że średni czas dojazdu na uczelnie tego studenta w losowo wybranych pięciu dniach będzie większy niż 32 minuty ale niższy niż 34 minuty?
Wiadomo, że prawdopodobieństwo złamania kręgosłupa przy skoku z pewnej wysokiej trampoliny wynosi 0,01. Z trampoliny skoczyło 3000 śmiałków o równych umiejętnościach. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że kręgosłup złamano więcej niż 32 razy?
Cukier pakowany jest w torebki o normalnej masie 1 kg. W rzeczywistości, w wyniku błędów ważenia, masa pojedynczej torebki ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej 1 kg i wariancji $0,025 kg^2 $. Torebki są pakowane w paczki po 10 torebek. Jaki jest procent paczek, nominalnie dziesięcio kilogramowych, które mają masę mniejszą niż 9.5 kg?
Czas oczekiwania na obsługę przy barze w jednej z wrocławskich dyskotek jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 10 min i odchyleniem standardowym 3 min. Jakie jest pr-stwo, że łączny czas obsługi 40 osób będzie zawarty w przedziale od 395 do 412 minut?
Facet ma w szafie 16 koszul białych i 4 czarne. Jakie jest pr-stwo, że na 100 zakładanych koszul będzie mniej niż 78 białych?
Oszacowano, że co piąty student pracuje. Jakie jest pr-stwo, że w losowo wybranej próbie 150 studentów będzie więcej niż 125, ale mniej niż 140 niepracujących studentów?
1+
