$$\Large{a_{n+1} = a_n + r}$$
Odejmując od wyrazu następnego wyraz poprzedni otrzymujemy różnicę tego ciągu
$$\Large{a_{n+1} – a_n = r}$$
Krok 1: Tworzymy wyraz $a_{n+1}$. Należy podstawić w miejsce $n$ wyrażenie $n+1$.
$a_{n+1} = \frac{2 \cdot ((n + 1) + 1)}{3}$$= \frac{2 \cdot (n + 2)}{3}$
Krok 2: Obliczamy różnicę $r$
$r = a_{n+1} – a_n$$= \frac{2 \cdot (n + 2)}{3} – \frac{2 \cdot (n + 1)}{3}$$ = \frac{2 \cdot n + 4}{3} – \frac{2 \cdot n + 2}{3}$
Łączymy wyrażenia w jeden ułamek, pamiętając o minusie między nimi
$r = \frac {2 \cdot n + 4 – 2 \cdot n -2}{3}$$ = \frac 23$
Odpowiedź: Ciąg $a_n$ jest arytmetyczny, o stałej różnicy $r = \frac 23$.
$$\Large{a_n = \frac {a_{n-1} + a_{n+1}}{2}}$$
Kolejne wyrazy zapisujemy pod postaciami analogicznie jak we wzorze z własnością ciągu, czyli
$a_{n-1} = x – 2$
$a_n = 3$
$a_{n+1} = x + 6$
Podstawiamy do wzoru:
$a_n = \frac {a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$
$3 = \frac {x – 2 + x + 6}{2}$
$3 = \frac {2 \cdot x + 4}{2}$
$6 = 2 \cdot x + 4$
$2 = 2 \cdot x$
$x = 1$
Odpowiedź: Skoro $x = 1$ to kolejne wyrazy tego ciągu to $ -1, 3, 7$.
$$\Large{a_n = {\color{blue}a_1} + (n-1) \cdot {\color{red}r}}$$
gdzie:
${\color{blue}a_1}$ – pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego,
${\color{red}r}$ – różnica ciągu arytmetycznego.
Przykład (CKE): W ciągu arytmetycznym ($a_n$), określonym dla $n ≥ 1$ dane są $a_1 = 5$ i $a_2 = 11$. Wtedy:
a) $a_{14} = 71$ b) $a_{12} = 71$ c) $a_{11} = 71$ d) $a_{10} = 71$.
Mając dane dwa pierwsze wyrazy wyznaczamy różnicę ciągu:
$r = a_2 – a_1 = 11 – 5 = 6$
Szukamy n-tego wyrazu, którego wartość wynosi $71$.
Podstawiamy do wzoru $a_1$, $a_n = 71$, $r$, a “$n$” jest naszą szukaną:
$a_n = a_1 + (n – 1) \cdot r$
$71 = 5 + (n – 1) \cdot 6$
$71 = 5 + 6 \cdot n – 6$
$71 = -1 + 6 \cdot n$
$72 = 6 \cdot n$
$n = 12$
Odpowiedź: Dwunasty wyraz tego ciągu ma wartość 71 ($a_{12} = 71$). Poprawna odpowiedź to b).
$$\Large{S_n = \frac {{\color{blue}a_1} + {\color{red}a_n}}{2} \cdot {\color{#339966}n}}$$${\color{blue}a_1}$ – pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego,
${\color{red}a_n}$ – $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego,
${\color{#339966}n}$ – liczba wyrazów w ciągu.
Uwaga: Zauważmy, że podstawiając do $S_n$ wzór na $n$-ty wyraz ciągu otrzymujemy
$S_n = \frac {a_1 + a_1 + (n – 1) \cdot r}{2} \cdot n = \frac{ 2 \cdot a_1 + (n – 1) \cdot r}{2} \cdot n$
Z pierwszego z nich korzystamy mając dany pierwszy i ostatni wyraz ciągu.
Drugi użyteczny jest przy znanej różnicy i pierwszym wyrazie ciągu.
Korzystamy z drugiego wzoru na sumę ciągu arytmetycznego, ponieważ w treści zadania mamy podane: $a_1 = 7$, $r = 4$, $n = 20$.
$S_n = \frac{ 2 \cdot a_1 + (n – 1) \cdot r}{2} \cdot n$
$S_{20} = \frac{ 2 \cdot a_1 + (20 – 1) \cdot r}{2} \cdot {20}$$ = \frac{ 2 \cdot 7 + 19 \cdot 4}{2} \cdot 20$$ = 10 \cdot (14 + 76)$$ = 10 \cdot 90$$ = 900$.
Odpowiedź: Suma 20 początkowych wyrazów tego ciągu wynosi $S_{20} = 900$.
Szukamy $S_{k + 1}$. Ze wzoru ogólnego wyznaczamy $a_1$ i $a_{k + 1}$, które są potrzebne do wstawienia do pierwszego wzoru na sumę ciągu arytmetycznego.
$a_1 = 2 \cdot 1 + 1$$ = 2 + 1 = 3$
$a_{k + 1} = 2 \cdot (k + 1) + 1$$ = 2 \cdot k + 2 + 1$$ = 2 \cdot k + 3$
Zapisujemy sumę $k + 1$ wyrazów:
$S_{k + 1} = \frac {a_1 + a_{k+1}}{2} \cdot (k + 1)$$ = \frac {3 + (2 \cdot k +3)}{2} \cdot (k + 1)$
Wymnażamy nawiasy w liczniku:
$S_{k + 1} = \frac {(6 + 2 \cdot k) \cdot (k + 1)}{2}$$ = \frac {6 \cdot k + 6 + 2 \cdot k^2 + 2 \cdot k}{2}$
Upraszczamy licznik:
$S_{k + 1} = \frac {2 \cdot k^2 + 8 \cdot k + 6}{2}$$ = k^2 + 4 \cdot k + 3$
Odpowiedź: Suma $k+1$ pierwszych wyrazów tego ciągu wynosi $k^2 + 4 \cdot k + 3$.