Ciąg arytmetyczny powstaje poprzez dodawanie do poprzednich wyrazów ciągu różnicy $r$, czyli
$$\Large{a_{n+1} = a_n + r}$$
Odejmując od wyrazu następnego wyraz poprzedni otrzymujemy różnicę tego ciągu
$$\Large{a_{n+1} – a_n = r}$$
Przykład: Czy ciąg $a_n = \frac{2 \cdot (n + 1)}{3}$ jest arytmetyczny?
Do wykonania zadania musimy sprawdzić czy różnica $r$ jest liczbą stałą (nie może ona zależeć od $n$).

Krok 1: Tworzymy wyraz $a_{n+1}$. Należy podstawić w miejsce $n$ wyrażenie $n+1$.

$a_{n+1} = \frac{2 \cdot ((n + 1) + 1)}{3}$$= \frac{2 \cdot (n + 2)}{3}$

Krok 2: Obliczamy różnicę $r$

$r = a_{n+1} – a_n$$= \frac{2 \cdot (n + 2)}{3} – \frac{2 \cdot (n + 1)}{3}$$ = \frac{2 \cdot n + 4}{3} – \frac{2 \cdot n + 2}{3}$

Łączymy wyrażenia w jeden ułamek, pamiętając o minusie między nimi

$r = \frac {2 \cdot n + 4 – 2 \cdot n -2}{3}$$ = \frac 23$

Odpowiedź: Ciąg $a_n$ jest arytmetyczny, o stałej różnicy $r = \frac 23$.

Własność dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego $ a_{n-1}, a_n, a_{n+1}$
$$\Large{a_n = \frac {a_{n-1} + a_{n+1}}{2}}$$
Uwaga: Tego nie musisz wkuwać! Wybrane wzory matematyczne – CKE strona 3.
Przykład: Liczby $x – 2$, $3$, $x + 6$ w danej kolejności są kolejnymi trzema wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz $x$.

Kolejne wyrazy zapisujemy pod postaciami analogicznie jak we wzorze z własnością ciągu, czyli

$a_{n-1} = x – 2$

$a_n = 3$

$a_{n+1} = x + 6$

Podstawiamy do wzoru:

$a_n = \frac {a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

$3 = \frac {x – 2 + x + 6}{2}$

$3 = \frac {2 \cdot x + 4}{2}$

$6 = 2 \cdot x + 4$

$2 = 2 \cdot x$

$x = 1$

Odpowiedź: Skoro $x = 1$ to kolejne wyrazy tego ciągu to $ -1, 3, 7$.

Wzór na $n$ – ty wyraz ciągu arytmetycznego (więcej tutaj)
$$\Large{a_n = {\color{blue}a_1} + (n-1) \cdot {\color{red}r}}$$
gdzie:
${\color{blue}a_1}$ – pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego,
${\color{red}r}$ – różnica ciągu arytmetycznego.
Uwaga: Tego nie musisz wkuwać! Wybrane wzory matematyczne – CKE strona 3.

Przykład (CKE): W ciągu arytmetycznym ($a_n$), określonym dla $n ≥ 1$ dane są $a_1 = 5$ i $a_2 = 11$. Wtedy:

a) $a_{14} = 71$      b) $a_{12} = 71$     c) $a_{11} = 71$     d) $a_{10} = 71$.

Mając dane dwa pierwsze wyrazy wyznaczamy różnicę ciągu:

$r = a_2 – a_1 = 11 – 5 = 6$

Szukamy n-tego wyrazu, którego wartość wynosi $71$.

Podstawiamy do wzoru $a_1$, $a_n = 71$, $r$, a “$n$” jest naszą szukaną:

$a_n = a_1 + (n – 1) \cdot r$

$71 = 5 + (n – 1) \cdot 6$

$71 = 5 + 6 \cdot n – 6$

$71 = -1 + 6 \cdot n$

$72 = 6 \cdot n$

$n = 12$

Odpowiedź: Dwunasty wyraz tego ciągu ma wartość 71 ($a_{12} = 71$). Poprawna odpowiedź to b).

Suma $n$ pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego (więcej tutaj)
$$\Large{S_n = \frac {{\color{blue}a_1} + {\color{red}a_n}}{2} \cdot {\color{#339966}n}}$$${\color{blue}a_1}$ – pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego,
${\color{red}a_n}$ – $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego,
${\color{#339966}n}$ – liczba wyrazów w ciągu.

Uwaga: Zauważmy, że podstawiając do $S_n$ wzór na $n$-ty wyraz ciągu otrzymujemy

$S_n = \frac {a_1 + a_1 + (n – 1) \cdot r}{2} \cdot n = \frac{ 2 \cdot a_1 + (n – 1) \cdot r}{2} \cdot n$

Z pierwszego z nich korzystamy mając dany pierwszy i ostatni wyraz ciągu.
Drugi użyteczny jest przy znanej różnicy i pierwszym wyrazie ciągu.

Uwaga: Tego nie musisz wkuwać! Wybrane wzory matematyczne – CKE strona 3.
Przykład: Wyznacz sumę 20 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego ($a_n$) wiedząc, że pierwszy wyraz tego ciągu wynosi $7$, a różnica $4$.

Korzystamy z drugiego wzoru na sumę ciągu arytmetycznego, ponieważ w treści zadania mamy podane: $a_1 = 7$, $r = 4$, $n = 20$.

$S_n = \frac{ 2 \cdot a_1 + (n – 1) \cdot r}{2} \cdot n$

$S_{20} = \frac{ 2 \cdot a_1 + (20 – 1) \cdot r}{2} \cdot {20}$$ = \frac{ 2 \cdot 7 + 19 \cdot 4}{2} \cdot 20$$ = 10 \cdot (14 + 76)$$ = 10 \cdot 90$$ = 900$.

Odpowiedź: Suma 20 początkowych wyrazów tego ciągu wynosi $S_{20} = 900$.

Przykład: Ile jest równa suma $k+1$ wyrazów ciągu arytmetycznego o wyrazie ogólnym $a_n = 2 \cdot n + 1$.

Szukamy $S_{k + 1}$. Ze wzoru ogólnego wyznaczamy $a_1$ i $a_{k + 1}$, które są potrzebne do wstawienia do pierwszego wzoru na sumę ciągu arytmetycznego.

$a_1 = 2 \cdot 1 + 1$$ = 2 + 1 = 3$

$a_{k + 1} = 2 \cdot (k + 1) + 1$$ = 2 \cdot k + 2 + 1$$ = 2 \cdot k + 3$

Zapisujemy sumę $k + 1$ wyrazów:

$S_{k + 1} = \frac {a_1 + a_{k+1}}{2} \cdot (k + 1)$$ = \frac {3 + (2 \cdot k +3)}{2} \cdot (k + 1)$

Wymnażamy nawiasy w liczniku:

$S_{k + 1} = \frac {(6 + 2 \cdot k) \cdot (k + 1)}{2}$$ = \frac {6 \cdot k + 6 + 2 \cdot k^2 + 2 \cdot k}{2}$

Upraszczamy licznik:

$S_{k + 1} = \frac {2 \cdot k^2 + 8 \cdot k + 6}{2}$$ = k^2 + 4 \cdot k + 3$

Odpowiedź: Suma $k+1$ pierwszych wyrazów tego ciągu wynosi $k^2 + 4 \cdot k + 3$.

0