Wyrazy ciągu geometrycznego powstają poprzez mnożenie wyrazu poprzedniego przez stały iloraz $q$
$$\Large{a_{n+1} = a_n \cdot q}$$
Dzieląc wyraz następny przez poprzedni mamy wzór na $q$:
$$\Large{q = \frac{a_{n+1}}{a_n}}$$
gdzie $a_n ≠0$.
Przykład: Czy ciąg $a_n = n^2$ jest geometryczny?

Sprawdzamy czy iloraz $q$ jest liczbą stałą. Wyznaczamy dwa kolejne wyrazy ciągu:

$a_n = n^2$

$a_{n+1} = (n + 1)^2$

Obliczamy iloraz:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}$$ = \frac {(n + 1)^2}{n^2}$$ = \frac {n^2 + 2n + 1}{n^2}$

Odpowiedź: Wynik nie jest liczbą stałą, bo jest zależny od $n$, czyli ciąg $a_n$ nie może być ciągiem geometrycznym.

Własność ciągu geometrycznego dla trzech kolejnych wyrazów
$$\Large{{a_n}^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}}$$
np. dla ciągu $1, \frac 12, \frac 14, \frac 18$
$(\frac 14)^2 = \frac 12 \cdot \frac 18$
$\frac {1}{16} = \frac {1}{16}$
Uwaga: Tego nie musisz wkuwać! Wybrane wzory matematyczne – CKE strona 3.

Przykład (CKE): Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny $(24, 6, a-1)$. Stąd wynika, że:

a) $a = \frac 52$ b) $a = \frac 25$ c) $a = \frac 32$ d) $a = \frac 23$

Skoro $24, 6, a-1$ to trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego to możemy skorzystać ze wzoru powyżej, gdzie:

$a_n = 6 = a_2$

$a_{n-1} = 24 = a_1$

$a_{n+1} = a – 6 = a_3$

$6^2 = 24 \cdot (a – 1)$

$36 = 24a – 24$

$36 + 24 = 24a$

$60 = 24a$

$a = \frac {60}{24} $$= \frac {15}{6} = \frac 52$

Odpowiedź: Poprawna odpowiedź to a) $a = \frac 52$.

Przykład (CKE): Ciąg $(x, 2x + 3, 4x + 3)$ jest geometryczny Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

A. $-4$      B. $1$     C. $0$      D. $-1$

Z własności mamy:

$(2x + 3)^2 = x \cdot (4x + 3)$

Po lewej stronie równania stosujemy wzór skróconego mnożenia, a po prawej wymnażamy przez nawias:

$4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 3x \hspace{0,5 cm} |- 4x^2$

$12x + 9 = 3x$

$9 = -9x$

$x = -1$

Stąd pierwszy wyraz jest równy $a_1 = -1$.

Odpowiedź: Poprawna odpowiedź to D. $-1$.

Wzór ogólny na $n$-ty wyraz ciągu (więcej tutaj)
$$\Large{a_n = {\color{blue}a_1} \cdot {\color{red}q}^{{\color{#008000}n}-1}}$$
$ {\color{blue}a_1}$ – pierwszy wyraz ciągu geometrycznego,
${\color{red}q}$ – iloraz ciągu geometrycznego,
${\color{#008000}n}$ – liczba wyrazów ciągu.
Przykład: Wiedząc, że ciąg jest geometryczny i $a_1 = 2$, $q = \frac 14$. Wyznacz wzór na $n$-ty wyraz tego ciągu.

Podstawiamy dane do wzoru: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

$a_n = 2 \cdot (\frac 14)^{n-1}$

Możemy to również uprościć korzystając z działań na potęgach:

$a_n = 2 \cdot \frac{(\frac 14)^n}{\frac 14}$$ = 2 \cdot 4 \cdot (\frac 14)^n$

Przykład: Oblicz piąty i szósty wyraz ciągu geometrycznego $-\frac{1}{16}, \frac 14, – 1, 4$ i podaj jego wzór ogólny.

Wyliczamy najpierw $q$ biorąc dowolne dwa kolejne wyrazy

$q = \frac {a_4}{a_3}$$ = \frac {4}{- 1}$$ = -4$

Wyznaczamy $a_5$ i $a_6$:

$a_5 = a_4 \cdot q$$ = 4 \cdot (- 4)$$ = – 16$

$a_6 = a_5 \cdot q$$ = – 16 \cdot (- 4) $$= 64$

Mając dane $a_1 = – \frac{1}{16}$ oraz $q = – 4$ wzór ogólny to:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

$a_n = – \frac{1}{16} \cdot (- 4)^{n-1}$

Z działań na potęgach:

$a_n = – \frac{1}{16} \cdot \frac{(- 4)^n}{- 4}$$ = \frac {1}{64} \cdot (- 4)^n$

OdpowiedźL Wzór ogólny jest postaci $a_n = \frac {1}{64} \cdot (- 4)^n$, $a_5 = – 16$, $a_4 = 64$.

Uwaga: Możemy sprawdzić poprawność wzoru wyliczając np. $a_5$, tj.

$a_5 = \frac{1}{64} \cdot (- 4)^5$$ = – \frac {1024}{64}$$ = – 16$

Suma $n$ pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego (więcej tutaj)
$$\Large{S_n = {\color{blue}a_1} \cdot \frac{1 – {\color{red}q}^{\color{#008000}n}}{1 – {\color{red}q}}}$$${\color{blue}a_1}$ – pierwszy wyraz ciągu geometrycznego,${\color{red}q}$ – iloraz ciągu geometrycznego,

${\color{#008000}n}$ – liczba wyrazów ciągu.

Uwaga: Gdy $q$ jest liczbą stałą równą $1$ to wzór jest postaci

$S_n = a_1 \cdot n$.

Uwaga: Tego nie musisz wkuwać! Wybrane wzory matematyczne – CKE strona 3.
Przykład: Oblicz sumę ciągu geometrycznego $1, 3, 9, 27, …, 729$.

Krok 1: Wyznaczamy $q$.

$q = \frac {a_2}{a_1}$$ = \frac 31 = 3$

Krok 2: Musimy wiedzieć ile jest wyrazów tego ciągu. Wyznaczamy $n$ ze wzoru ogólnego dla ostatniego wyrazu.

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

$729 = 1 \cdot 3^{n-1}$

$729 = 3^{n-1}$

Przedstawiamy liczbę $729$ jako $3$ do “jakiejś potęgi” ($729 = 3^6$)

$3^6 = 3^{n-1}$

Stąd otrzymujemy:

$6 = n – 1$

$n = 7$

Krok 3: Wstawiamy dane do wzoru na sumę.

$S_n = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q}$

$S_n = 1 \cdot \frac{1 – 3^7}{1 – 3}$$ = \frac {1-2187}{- 2}$$ = \frac {- 2186}{- 2}$$ = 1093$

Odpowiedź: Sumą danego ciągu geometrycznego jest $S_n = 1093$.

0