Czworościan foremny

Czworościan foremny, to ostrosłup prawidłowy trójkątny, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi.
Wprost z definicji widać, że czworościan foremny jest szczególnym przypadkiem ostrosłupa prawidłowego trójkątnego.
Zwróćmy uwagę na to, jak wygląda siatka czworościanu foremnego:
siatka czworościanu foremnego
Przypomnijmy wzory dla trójkąta równobocznego:

  • wysokość: $h=\frac{a\sqrt3}{2}$
  • pole: $P=\frac{a^2 \sqrt3}{4}$

Objętość czworościanu foremnego

Objętość ostrosłupa wyraża się wzorem:

$V=\frac{1}{3}Pole\: podstawy\cdot wysokość\: ostrosłupa$

W przypadku czworościanu foremnego podstawą jest trójkąt równoboczny, zatem

$Pole\: podstawy=\frac{a^2\sqrt3}{4}$

Ostatecznie mamy:

Objętość czworościanu foremnego wyraża się wzorem:
$$V=\frac{a^2\sqrt3}{12}H$$

Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego

Ponieważ boki czworościanu foremnego są takimi samymi trójkątami równobocznymi, zatem pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego to:
$$P_{C}=4\cdot Pole\: podstawy$$

Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego określa wzór:

$$P_{C}=4\cdot \frac{a^2 \sqrt3}{4}=a^2\sqrt3$$
Przykład 1: Pole powierzchni czworościanu foremnego wynosi $36\sqrt3 $ oblicz objętość tego czworościanu.
Narysujmy obrazek poglądowy:

$P_{C}=4\cdot \frac{a^2 \sqrt3}{4}=36\sqrt3$
$a^2=36$
$a=6 \quad \vee \quad a=-6$
Ponieważ odległość mus być nieujemna $a=6$
Korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, otrzymujemy:
$3x=\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3$
$x=\sqrt3$
Korzystając w twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta o bokach długości $a,\; x, \; H$ mamy:
$H^2+(2x)^2=a^2$
$H^2+(2\sqrt3)^2=6^2$
$H^2=36-12=24$
$H=\sqrt{24} \quad \vee \quad H=-\sqrt{24}$
Ponieważ odległość mus być nieujemna $H=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6} = 2\sqrt{6}$
Podstawiając pod wzór na objętość czworościanu foremnego otrzymujemy:
$V=3\sqrt{3}\cdot H = 3\sqrt3 \cdot s\sqrt2 =6\sqrt{18}=18\sqrt{2}$
Odpowiedź: Objętość tego czworościanu, to $18\sqrt{2}.$
0