Działania na logarytmach – dodawanie logarytmów o tych samych podstawach
$$\bf log_a x + log_a y = log_a (x \cdot y)$$
$log_8 3 + log_8 7$$=log_8 (3 \cdot 7)= log_8 21$
Odejmowanie logarytmów o tych samych podstawach
$$\bf log_a x – log_a y = log_a \frac{x}{y}$$
$log_3 6 – log_3 2 $$= log_3 \left(\frac{6}{2}\right)=log_3 3=1$
Dodawanie i odejmowanie logarytmów o różnych podstawach
Jak wyglądają działania na logarytmach gdy podstawy są różne?
Korzystamy z definicji logarytmów, tzn. $log_a b=c$ , to $a^c=b$.
Więcej przeczytaj tutaj: Logarytmy – wzory
Obliczamy “na marginesie” każdy logarytm po kolei. Następnie gotowe wartości do siebie dodajemy/odejmujemy.
Najpierw liczymy osobno $log_2 8$, a potem $log_7 49$.
Najpierw liczymy osobno $log_2 8$, a potem $log_7 49$. | |
$log_2 8=x$ | $log_7 49=y$ |
$2^x=8$ | $7^y=49$ |
$2^x=2^3$ | $7^y=7^2$ |
porównujemy do siebie wykładniki potęgi (to co jest na górze) | |
$x = 3$ | $y=2$ |
Zatem $log_2 8 – log_7 49$$= x – y=3-2=1$
$log_2 16=x$
$2^x=16$ $2^x=2^4$ $x=4$ |
$log_4 16=y$
$4^y=16$ $4^y=4^2$ $y=2$ |
$…= 4+2=6$
Mnożenie logarytmów o tych samych podstawach
$log_2 16=x$
$2^x=16$ $2^x=2^4$ $x=4$ |
$log_3 27=y$
$3^y=27$ $3^y=3^3$ $y=3$ |
$…=4 \cdot 3 = 12$
Wzór na logarytm o podstawie a z liczby podniesionej do potęgi
$log_8 ^2 2 + log_8 2 \cdot log_8 4$$= log_8 2 \cdot log_8 2+log_8 2+log_8 4=$
$= log_8 2(log_8 2 + log_8 4)$$=log_8 2 \cdot log_8 8 $$= log_8 2 \cdot 1=log_8 2$
$log_a b^2$, to nie jest to samo co $log_a ^2 b$, ponieważ w pierwszym przypadku to liczba logarytmowana b jest podnoszona do drugiej potęgi.
Zatem jeśli mamy $log_6 ^2 2$, to jest równe
$\bf log_6 ^2 2 =(log_6 2)^2$$\bf=log_6 2 \cdot log_6 2$