Działania na logarytmach – dodawanie logarytmów o tych samych podstawach

Jeśli chcemy dodać do siebie logarytmy o tych samych podstawach korzystamy ze wzoru
$$\bf log_a x + log_a y = log_a (x \cdot y)$$
Przykłady: Przedstaw logarytm w prostszej postaci.
$log_2 4 + log_2 5$$=log_2 (4 \cdot 5)= log_2 20$
$log_8 3 + log_8 7$$=log_8 (3 \cdot 7)= log_8 21$

Odejmowanie logarytmów o tych samych podstawach

Jeśli chcemy odjąć logarytmy o tych samych podstawach korzystamy ze wzoru
$$\bf log_a x – log_a y = log_a \frac{x}{y}$$
Przykłady: Przedstaw logarytm w prostszej postaci.
$log_9 21 – log_9 7 $$= log_9\left (\frac{21}{7}\right)=log_9 3$
$log_3 6 – log_3 2 $$= log_3 \left(\frac{6}{2}\right)=log_3 3=1$

Dodawanie i odejmowanie logarytmów o różnych podstawach

Jak wyglądają działania na logarytmach gdy podstawy są różne?

Korzystamy z definicji logarytmów, tzn. $log_a b=c$ , to $a^c=b$.
Więcej przeczytaj tutaj: Logarytmy – wzory

Obliczamy “na marginesie” każdy logarytm po kolei. Następnie gotowe wartości do siebie dodajemy/odejmujemy.

Przykład 1: Obliczmy $log_2 8 – log_7 49$.

Najpierw liczymy osobno $log_2 8$, a potem $log_7 49$.

Najpierw liczymy osobno $log_2 8$, a potem $log_7 49$.
$log_2 8=x$ $log_7 49=y$
$2^x=8$ $7^y=49$
$2^x=2^3$ $7^y=7^2$
porównujemy do siebie wykładniki potęgi (to co jest na górze)
$x = 3$ $y=2$

Zatem $log_2 8 – log_7 49$$= x – y=3-2=1$

 

Przykład 2: $log_2 16 + log_4 16 =…$
$log_2 16=x$

$2^x=16$

$2^x=2^4$

$x=4$

$log_4 16=y$

$4^y=16$

$4^y=4^2$

$y=2$

$…= 4+2=6$

Mnożenie logarytmów o tych samych podstawach

Na mnożenie logarytmów nie ma żadnych wzorów. Postępujemy tak jak w przypadku dodawania\odejmowania logarytmów o różnych podstawach, tzn “na marginesie” obliczamy każdy z logarytmów, a następnie gotowe wyniki wymnażamy.
Przykład 2:$log_2 16 \cdot log_3 27 = …$
$log_2 16=x$

$2^x=16$

$2^x=2^4$

$x=4$

$log_3 27=y$

$3^y=27$

$3^y=3^3$

$y=3$

$…=4 \cdot 3 = 12$

Wzór na logarytm o podstawie a z liczby podniesionej do potęgi

Podnosząc logarytm do jakiejkolwiek potęgi postępujemy jak z np. funkcją trygonometryczną, to znaczy: $cos^2 x=(cosx)^2$ – to tylko kwestia zapisu. Tak samo mamy z logarytmami $\bf \log_a^2b=(log_a b)^2$
Przykład 3: $log_8 ^2 2 + log_8 2 \cdot log_8 4=…$

$log_8 ^2 2 + log_8 2 \cdot log_8 4$$= log_8 2 \cdot log_8 2+log_8 2+log_8 4=$
$= log_8 2(log_8 2 + log_8 4)$$=log_8 2 \cdot log_8 8 $$= log_8 2 \cdot 1=log_8 2$

$log_a b^2$, to nie jest to samo co $log_a ^2 b$, ponieważ w pierwszym przypadku to liczba logarytmowana b jest podnoszona do drugiej potęgi.

Zatem jeśli mamy $log_6 ^2 2$, to jest równe

$\bf log_6 ^2 2 =(log_6 2)^2$$\bf=log_6 2 \cdot log_6 2$

0