Zanim przejdziemy do klasyfikacji ze względu na kąty i boki w trójkącie, to przypomnijmy definicję trójkąta.

Trójkątem nazywamy wielokąt o trzech bokach i o trzech kątach.

Klasyfikacja trójkątów ze względu na boki i kąty​

Ze względu na boki

Ze względu na kąty

Trójkąt równoboczny Trójkąt ostrokątny
Trójkąt równoramienny Trójkąt prostokątny  
Trójkąt różnoboczny Trójkąt rozwartokątny


Trójkąt równoboczny

Trójkątem równobocznym nazywamy trójkąt, który ma wszystkie boki o tej samej długości.

Zauważmy, że skoro trójkąt równoboczny ma takie same boki, to ma też takie same kąty  tj. $180^{\circ}:3=60^{\circ}$. Zatem $\alpha=60^{\circ}$.

Trójkąt równoramienny

Trójkątem równoramiennym nazywamy trójkąt, który ma co najmniej dwa boki równej długości.

Bok b w powyższym trójkącie nazywamy podstawą, zaś boki a nazywamy ramionami. Zauważmy, że kąty przy podstawie są równe.

Trójkąt ostrokątny

Trójkątem ostrokątnym nazywamy trójkąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne są kątami ostrymi.
Kąty ostre, to kąty mniejsze od $90^{\circ}$.

Trójkąt rozwartokątny

Trójkątem rozwartokątnym nazywamy taki trójkąt, którego jeden kąt jest rozwarty.
Zauważ, że kąt $\alpha$ jest rozwarty, więc musi być większy od $90^{\circ}$, ale mniejszy od $180^{\circ}$!
Pozostałe kąty $\beta$ i $\gamma$ są kątami ostrymi (widać to na rysunku).

Trójkąt prostokątny

Trójkątem prostokątnym nazywamy trójkąt, którego jeden kąt jest prosty.
W trójkącie prostokątnym, boki przy kącie prostym mogą być równej długości – wówczas mówimy o trójkącie prostokątnym równoramiennym.

Jak podzielimy kwadrat na dwie równe części za pomocą jego przekątnej, to otrzymamy dwa trójkąty prostokątne równoramienne.
Z twierdzenia Pitagorasa policzymy przekątną kwadratu (u nas $b=a$, bo przyprostokątne są równej długości i wynoszą $a$):
$$a^{2} + b^{2} = c^{2}$$ $$a^{2} + a^{2} = c^{2}$$ $$2 \cdot a^{2} = c^{2}$$
Stąd:
$$ c = \sqrt{2 \cdot a^{2}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{a^{2}}$$
Wiemy, że $\sqrt{a^{2}}=|a|$, natomiast $a$ jest długością boku, zatem jest liczbą dodatnią. Mamy więc:
$$c = a\cdot\sqrt{2} $$
Ten wzór jest wzorem na długość przekątnej kwadratu.

Suma miar kątów

Suma miar kątów trójkąta wynosi $180^{\circ}$.

Nierówność trójkąta

W trójkącie suma długości dwóch dowolnych boków jest większa od długości trzeciego boku.

Przykładowe zadania

Przykład 1.
Uzasadnij, że nie istnieje trójkąt o wysokościach 1,2,3.

Na początku oznaczymy boki i wysokości trójkąta:
– Dla boku $a$ jego wysokość wynosi $h_{a}=1$.
– Dla boku $b$ jego wysokość wynosi $h_{b}=2$.
– Dla boku $c$ jego wysokość wynosi $h_{c}=3$.Następnie liczymy pole trójkąta:
$$P_{a} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 1$$ $$P_{b}= \frac{1}{2} \cdot b \cdot 2$$ $$P_{c}= \frac{1}{2} \cdot c \cdot 3$$
Zauważ, że $P_{a}, P_{b}, P_{c}$ są takie same, więc: $$P = \frac{a}{2} =  \frac{2b}{2} = \frac{3c}{2}$$
Mianowniki są takie same, ale żeby pole trójkątów $P_{a}, P_{b}, P_{c}$ było takie same, to liczniki muszą mieć taką samą wartość, tzn.: $$a =  2b = 3c$$
Teraz wykorzystujemy nierówność trójkąta. Sprawdzamy, czy ten warunek jest spełniony dla boku $a$.
Żeby zbudować z tego trójkąt, to suma boków $b$ i $c$ musi być większa od boku $a$, czyli: $$b+c>a$$
Żeby łatwiej policzyć tą nierówność, skorzystamy z równości $a =  2b = 3c$ i wyrazimy zmienne $a$ i $c$ za pomocą zmiennej $b$, to znaczy:
$$a = 2b$$ $$3c = 2b$$ $$c = \frac{2b}{3}$$
Zatem: $$b + \frac{2}{3}b > 2b$$ $$1\frac{2}{3}b>2b$$
Stąd: $$1\frac{2}{3}>2$$ Co daje nam sprzeczność.

Odpowiedź:
Wysokości trójkąta nie mogą mieć tych długości.

Przykład 2.
W trójkącie równoramiennym kąt wierzchołkowy jest 2 razy większy od tego przy podstawie. Znajdź miary tych kątów.


Oznaczenia:
$\alpha$ – kąt przy podstawie,
$2 \alpha$ – kąt wierzchołkowy.
Wiemy, że w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.
Zatem rozwiązujemy następujące równanie:
$$\alpha + 2 \alpha + \alpha = 180^{\circ}$$ $$4 \cdot \alpha = 180^{\circ}$$ $$\alpha = 45^{\circ}$$
Następnie liczymy miarę większego kąta, tzn.: $$2 \cdot \alpha = 2 \cdot 45^{\circ} = 90^{\circ}$$
Odpowiedź: Miary kątów trójkąta wynoszą odpowiednio $45^{\circ}, 45^{\circ}, 90^{\circ}$.

Przykład 3.
W trójkącie równoramiennym kąt wierzchołkowy jest o $20^{\circ}$ większy od kąta przy podstawie. Znajdź miary tych kątów.


Oznaczenia:
$\alpha$ – kąt przy podstawie,
$20 + \alpha$ – kąt wierzchołkowy.
Wiemy już, że w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.Zatem rozwiązujemy następujące równanie:
$$\alpha + \alpha + \alpha + 20 = 180^{\circ}$$ $$3 \alpha + 20 = 180^{\circ}$$ $$3 \alpha = 160^{\circ}$$ $$\alpha = 53 \frac{1}{3}^{\circ}$$
Następnie liczymy miarę większego kąta, tzn.: $$20 + \alpha = 20 + 53 \frac{1}{3}^{\circ} = 73 \frac{1}{3}^{\circ}$$
Odpowiedź: Miary kątów trójkąta wynoszą odpowiednio $53 \frac{1}{3}^{\circ}$, $53 \frac{1}{3}^{\circ}$, $73 \frac{1}{3}^{\circ}$.

Przykład 4.
Które trzy boki mogą utworzyć trójkąt?
a) 1,7,8
b) 3,4,5
c) 1,2,3
d) 5,6,13

Zgodnie z treścią nierówności trójkąta, oznaczmy trzeci bok trójkąta i jego pozostałe boki, tzn:
Ad a)
Trzeci bok – 1, pozostałe boki 7,8
Trzeci bok – 7, pozostałe boki 1,8
Trzeci bok – 8, pozostałe boki 1,7
Ad b)
Trzeci bok – 3, pozostałe boki 4,5
Trzeci bok – 4, pozostałe boki 3,5
Trzeci bok – 5, pozostałe boki 3,4
Ad c)
Trzeci bok – 1, pozostałe boki 2,3
Trzeci bok – 2, pozostałe boki 1,3
Trzeci bok – 3, pozostałe boki 1,2
Ad d)
Trzeci bok – 5, pozostałe boki 6,13
Trzeci bok – 6, pozostałe boki 5,13
Trzeci bok – 13, pozostałe boki 5,6
Następnie sumujemy pozostałe dwa boki, czyli:
a) $$1+7=8\\8+1=9\\8+7=15$$
b) $$3+4=7\\3+5=8\\4+5=9$$
c) $$1+2=3\\1+3=4\\3+2=5$$
d) $$5+6=11\\5+13=18\\6+13=19$$
Na koniec sprawdzamy, czy suma pozostałych boków jest większa od trzeciego boku:
a) $$1+7=8\ngtr8\\8+1=9>7\\8+7=15>1$$
b) $$3+4=7>5\\3+5=8>4\\4+5=9>3$$
c) $$1+2=3\ngtr3\\1+3=4>2\\3+2=5>1$$
d) $$5+6=11<13\\5+13=18>6\\6+13=19>5$$
Okazuje się, że tylko w punkcie b) można zbudować trójkąt. Dlaczego?
Ponieważ w nierówności trójkąta mamy nierówność ostrą, więc dla punktu a) i c) nie jest spełniona nierówność trójkąta.
Gdyby w treści nierówności trójkąta było słowo: „większe lub równe”, to trójkąty z punktu a) i c) spełniałyby ten warunek.

Odpowiedź:
Tylko w podpunkcie b) może powstać trójkąt.

Przykład 5.
Jaką długość może mieć trzeci bok trójkąta rozwartokątnego, jeżeli dwa krótsze boki mają długości $4~cm$ i $7~cm$, a długość trzeciego boku jest liczbą naturalną? Kąt rozwarty jest kątem między dwoma krótszymi bokami tego trójkąta.

Oznaczenie:
$\alpha$  – kąt rozwarty.
Na początku wykorzystamy nierówność trójkąta tzn.: ustalamy trzeci bok trójkąta i sumujemy pozostałe boki:
$$\begin{cases}4 + 7 > x\\4 + x > 7\\7+ x > 4\end{cases}$$
Następnie, rozwiązujemy powyższy układ równań:
$$\left\{ \begin{array}{} x < 11 \\ x > 3 \\ x > -3 \end{array} \right. $$
Z układu równań otrzymujemy, że $x$ powinny być większe od $3$ (czyli również większe od $-3$), ale mniejsze od $11$. Z treści zadania mamy, że długość ta ma być liczbą całkowitą, zatem: $x\in\left\{4,5,6,7,8,9,10\right\}$. Natomiast szukany bok miał być najdłuższy, więc jego długość będzie większa niż $7$. Do rozważenia pozostają nam trzy długości boków: $7$, $8~$ i $~9$.
Bok, którego szukamy, ma utworzyć z pozostałymi bokami trójkąt rozwartokątny. Skorzystamy więc z Twierdzenia Pitagorasa, dzięki któremu wyznaczymy długość boku, dla której trójkąt ten byłby prostokątny. Zauważmy, że jeśli kąt między bokami o długości $4$ i $7$ się zwiększa, to bok $x$ staje się dłuższy, zatem każdy bok dłuższy niż ten wyznaczony z Twierdzenia, będzie spełniał warunki zadania (kąt między bokami o długości $4$ i $7$ będzie większy niż $90^\circ$). Zatem, z Tw. Pitagorasa: $$x^{2} = 4^{2} + 7^{2}$$ $$x^{2} = 65$$ $$x\approx 8,06$$ Oznacza to, że długość szukanego boku musi być większa niż $8,06$, zatem $x\in\left\{9,10\right\}$.

Matura rozszerzona (II sposób)

Wiedząc, że trójkąt jest rozwartokątny, możemy znaleźć dokładniej wartość $x$ za pomocą twierdzenia cosinusów, czyli: $$x^{2}=4^{2}+7^{2}-2\cdot4\cdot7\cdot \cos{\alpha}$$ Zatem: $$x^{2}=16+49-56\cdot \cos{\alpha}$$ $$x^{2}=65-56\cdot \cos{\alpha}$$
Wiemy, że kąt $\alpha$ jest rozwarty, więc  $\cos{\alpha}\in [-1,0]$. Sprawdźmy, czy wychodzi z równania $$x^{2}=65-56\cdot \cos{\alpha}$$ $$\cos{\alpha}\in [-1,0]$$ dla $x\in\left\{4,5,6,7,8,9,10\right\}$, tzn.:

dla $x=4$ mamy: $$16 = 65-56\cdot \cos{\alpha}$$ $$-49=-56 \cdot \cos{\alpha}$$ $$\cos{\alpha} = \frac{49}{56} \notin [-1,0]$$Po policzeniu dla każdego $x$ otrzymujemy, że tylko 9 i 10 spełniają tą równość, tzn.
dla $x=9$ mamy: $$81 = 65-56\cdot \cos{\alpha}$$ $$16=-56\cdot \cos{\alpha}$$ $$\cos{\alpha} = -\frac{16}{56} \in [-1,0]$$
Wobec tego, $x\in\left\{9,10\right\}$.

0