Liczba sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k$ niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa $$\Large{n^k}$$
Jest to wzór na wariacje z powtórzeniami.
W zadaniach z wariacji z powtórzeniami:
1) istotna jest kolejność, czyli np. tworząc dwuelementowe zbiory z liter $a, b, c$ zbiory {$a, b$}, {$b,a$} są różnymi zbiorami,
2) wybieramy $k$ – razy z zwracaniem z $n$ – elementowego zbioru – elementy mogą się powtarzać (w definicji “niekoniecznie różne wyrazy”), np. {$a, a$}, {$b,b$}.
Przykład: Ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie występują tylko cyfry $1, 3, 5, 7, 8$ oraz cyfry mogą się powtarzać?
Mamy zbiór składający się z $n = 5$ cyfr.
Układamy $k = 3$ – wyrazowe liczby, w których cyfry mogą się powtarzać (tj. np. $135, 111, 355$ itd.).
Ze wzoru na wariacje z powtórzeniami mamy:
$n^k$$ = 5^3$$ = 125$
Odpowiedź: Możemy ułożyć $125$ liczb trzycyfrowych.
Przykład: Numery pewnej serii dowodów osobistych składają się z trzech liter i z sześciu następujących po nich cyfr. Oblicz, ile może być dowodów z takimi numerami, jeżeli jedyne występujące litery to $ A, P, R$ (mogą się powtarzać) oraz cyfry również mogą się powtarzać.
Krok 1: Kombinacje liter
Mamy do wyboru zbiór trzech liter {$ A, P, R$}, czyli $n = 3$. Litery ustawiamy na $k = 3$ miejscach.
Ze wzoru mamy $3^3$$ = 27$ możliwych kombinacji liter.
Krok 2: Kombinacja cyfr
Wybieramy elementy ze zbioru $n = 10 $ cyfr ({$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$}).
Musimy zapełnić $k = 6$ miejsc na cyfry, które mogą się powtarzać. Ze wzoru na wariacje z powtórzeniami otrzymujemy $n^k = 10^6$ możliwych ustawień cyfr.
Krok 3: Aby zliczyć wszystkie możliwości korzystamy z reguły mnożenia, czyli wszystkich numerów dowodów może być
$3^3 \cdot 10^6 = 27 \cdot 10^6$.
Przykład: Na ile sposobów może opuścić windę $6$ osób, jeżeli budynek składa się z $10$ pięter?
Mamy $6$ i $10$ pięter.
Ludzie mogą wysiadać dowolnie, np. wszyscy na I piętrze, $3$ osoby na II piętrze, $2$ osoby na IV i 1 na IX piętrze, itd.
Ze zbioru $n = 10$ pięter wybieramy piętro dla każdej z $k = 6$ osób. Z wariacji z powtórzeniami jest $n^k = 10^6$ możliwych wysiadek z windy.
Uwaga: Instynktownie można przedstawić to tak:
$\underbrace{10}_{}$$\qquad$$\underbrace{10}_{}$$\qquad$$\underbrace{10}_{}$$\qquad$$\underbrace{10}_{}$$\qquad$$\underbrace{10}_{}$$\qquad$$\underbrace{10}_{}$
- pierwsza może wysiąść na $10$ możliwych piętrach,
- druga osoba również może wysiąść na którymś z $10$ pięter,
- trzecia, czwarta, piąta i szósta – analogicznie.
Z reguły mnożenia otrzymujemy $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^6$.
