Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy taką liczbę c, że a podniesione do potęgi daje liczbę b.

$ \bf log_a b = c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\bf a^c=b$
gdzie: $a>0 $, $ a \neq 0 $, $ b > 0$

Wzory i przykłady

 

Wzory Przykłady
$$log_a 1 = 0$$ $log_4 1 = 0$, bo $4^0=1$
$$log_a a = 1$$ $log_2 2 = 1$, bo $2^1 = 2$
$$log_a {x^k} = k\cdot log_a x$$ $log_6 {2^4} = 4 \cdot log_6 {2}$
$$log_a {a^k} = k $$ $log_2 {2^3} = 3$
$$a^{log_a x} = x$$ $3^{log_3 5} = 5$

Wzory na zmianę podstawy logarytmu (matura rozszerzona).
Jeżeli: a > 0, a $\neq$ 0, b > 0, b $\neq$ 0 oraz c >0, to zachodzą poniższe wzory:

$$ log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$$ $$log_2 3 = \frac{log_11 3}{log_11 2}$$
$$ log_a b = \frac{1}{log_b a}$$ $$ log_3 8 = \frac{1}{log_8 3}$$

Więcej o działaniach na logarytmach tutaj.

Więcej przykładów

 

Przykład 1. Oblicz: $3 \cdot log_8 2$.
Korzystając ze wzoru $\bf k\cdot log_a x = log_a {x^k}$ mamy: $$3 \cdot log_8 2=log_8 2^3=log_8 8.$$Teraz możemy skorzystać ze wzoru $log_a a=1$, zatem: $$log_8 8=1$$
Odpowiedź: $ 3 \cdot log_8 2=1$
Przykład 2. Oblicz: $log_2 4^2$.
Korzystając ze wzoru $\bf log_a {a^k} = k $ i z faktu, że $4=2^2$  mamy: $$log_2 {\left(2^2\right)^{2}}= log_2 {2^4}=4$$
Odpowiedź: $log_2 4^2=4$
Przykład 3. (Matura – sierpień 2014). Liczba $c = log_3 2$. Wtedy:
A. $c^3 = 2$
B. $3^c = 2$
C. $3^2 = c$
D. $c^2 = 3$
Korzystając z definicji logarytmu: $ \bf{log_a b = c \Leftrightarrow a^c=b}$ mamy:$$ log_3 2 = c \Leftrightarrow 3^c=2$$. Zatem odpowiedź B. jest prawidłowa.
Przykład 4. Oblicz: $5^{log_{\sqrt{25}} 6}$.
Wiemy, że $\sqrt{25}=5$, zatem:
$$5^{log_{\sqrt{25}} 6}=5^{log_{5} 6}$$ Korzystając ze wzoru: $\bf{a^{log_a x} = x}$ mamy:  $$5^{log_{5} 6}=6$$
Odpowiedź: $5^{(log_{\sqrt{25}} 6)}=6$
0