Miejsca zerowe – przypomnienie

Miejsca zerowe funkcji to argumenty ($x$), dla których funkcja osiąga wartość $0$. W miejscach zerowych wykres funkcji przecina poziomą oś układu współrzędnych, oś $OX$.

Zaznaczone punkty to miejsca zerowe narysowanej funkcji.

Ilość miejsc zerowych funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa może mieć:

  • dwa miejsca zerowe
  • jedno miejsce zerowe
  • zero miejsc zerowych

Przykład: $f(x)=-x^2+4x-4$

$a=-1,\;b=4,\;c=-4$

$\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot(-1)\cdot(-4)$$=16-16=0$

$\Delta=0$, więc funkcja $f(x)=-x^2+4x-4$ ma jedno miejsce zerowe.

Jest jeden punkt, w którym wykres styka się z osią $OX$. Jest to jedyne miejsce zerowe funkcji.

Przykład: $f(x)=2x^2+4x+3$

$a=2,\;b=4,\;c=3$

$\Delta$$=b^2-4ac$$=4^2-4\cdot2\cdot3$$=16-24=-8$

$\Delta<0$, więc funkcja $f(x)=2x^2+4x+3$ nie ma miejsc zerowych.

Wykres jest całkowicie ponad osią $OX$, nie przecina się z nią. Widzimy, że nie ma miejsc zerowych.

 

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej

Teraz nauczymy się liczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

Jeśli $\boldsymbol\Delta\boldsymbol>\mathbf0$, czyli funkcja ma dwa miejsca zerowe $x_1$, $x_2$ to mamy wzory na obliczenie tych miejsc zerowych $x_1$, $x_2$:

$$\Large{x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}$$

Jeśli $\boldsymbol\Delta\boldsymbol=\mathbf0$, czyli funkcja ma jedno miejsce zerowe $x_0$, to $x_0$ nazywamy pierwiastkiem podwójnym i liczymy ze wzoru:
$$\Large{x_{0}=\frac{-b}{2a}}$$

Uwaga: Zauważmy, że gdy korzystamy ze wzorów na $x_1$, $x_2$ podanych wyżej dla $\Delta=0$, to $x_1=\frac{-b-\sqrt0}{2a}=\frac{-b}{2a}$, $x_2=\frac{-b+\sqrt0}{2a}=\frac{-b}{2a}$.
Dlatego $x_0$ nazywamy pierwiastkiem podwójnym, bo $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$.
Jeśli $\boldsymbol\Delta\boldsymbol<\mathbf0$ to funkcja nie ma miejsc zerowych, więc nie mamy czego liczyć. Piszemy wtedy, że funkcja nie ma miejsc zerowych.

Przykłady

Przykład: $f(x)=x^2+6x+5$

$a=1,\;b=6,\;c=5$

$\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot5$$=36-20=16$

$\Delta>0$, więc są dwa miejsca zerowe. Liczymy je z podanych wzorów.

$\sqrt\Delta=\sqrt{16}=4$

$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-6-4}{2\cdot1}=\frac{-10}2=-5$

$x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-6+4}{2\cdot1}=\frac{-2}2=-1$

Liczby $-5$ i $-1$ są miejscami zerowymi funkcji $f(x)=x^2+6x+5$.

Na wykresie widzimy, że dla $x=-5$ i $x=-1$ funkcja osiąga wartość $0$, czyli mamy tam miejsca zerowe.

Przykład: $f(x)=-x^2+4x-4$

$a=-1,\;b=4,\;c=-4$

$\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot(-1)\cdot(-4)$$=16-16=0$

$\Delta=0$, więc jest jedno miejsce zerowe.

$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2\cdot(-1)}=\frac{-4}{-2}=2$

Liczba $2$ jest miejscem zerowym funkcji $f(x)=-x^2+4x-4$

Na wykresie widać, że jest jedno miejsce zerowe $x=2$.

Przykład: $f(x)=2x^2+4x+3$

$a=2,\;b=4,\;c=3$

$\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot2\cdot3$$=16-24=-8$

$\Delta<0$, więc funkcja nie ma miejsc zerowych.

Na wykresie widać, że funkcja nie przecina osi $OX$, czyli nie ma miejsc zerowych.

Przykład: $f(x)=-2x^2+9x+5$

$a=-2,\;b=9,\;c=5$

$\Delta=b^2-4ac=9^2-4\cdot(-2)\cdot5$$=81+40=121$

$\Delta>0$. Mamy dwa miejsca zerowe.

$\sqrt\Delta=\sqrt{121}=11$

$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-9-11}{2\cdot(-2)}=\frac{-20}{-4}=5$

$x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-9+11}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac12$

Liczby $5$ i $-\frac12$ są miejscami zerowymi funkcji $f$.

Przykład: $f(x)=\frac13x^2-\frac13x+\frac1{12}$

$a=\frac13,\;b=\frac13,\;c=\frac1{12}$

$\Delta=b^2-4ac=\left(\frac13\right)^2-4\cdot\frac13\cdot\frac1{12}$$=\frac19-\frac19=0$

$\Delta=0$. Mamy jedno miejsce zerowe.

$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-\frac13}{2\cdot\frac13}=\frac{-\frac13}{\frac23}$$=-\frac13\cdot\frac32=-\frac12$

Liczba $-\frac12$ jest podwójnym miejscem zerowym funkcji $f$.

Przykład: $f(x)=3x^2+2\sqrt5x+\frac74$

$a=3,\;b=2\sqrt5,\;c=\frac74$

$\Delta=b^2-4ac=\left(2\sqrt5\right)^2-4\cdot3\cdot\frac74$$=4\cdot5-3\cdot7=20-21=-1$

$\Delta<0$, więc funkcja nie ma miejsc zerowych.

 

Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Funkcję kwadratową w postaci ogólnej $f(x)=ax^2+bx+c$ możemy zapisać w postaci iloczynowej:

$$\Large{f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)}$$

Jeśli $\Delta\geq0$. $x_1$ i $x_2$ to liczby są miejscami zerowymi funkcji $f$. Jeśli $\Delta<0$ to postać iloczynowa nie istnieje.

Współczynnik $a$ w postaci ogólnej i postaci iloczynowej jest taki sam.

Przykład: Zapisz wzór funkcji kwadratowej $f(x)=3x^2-7x-6$ w postaci iloczynowej, jeśli to możliwe.

Liczymy deltę:

$\Delta=b^2-4ac=7^2-4\cdot3\cdot(-6)$$=49+72=121$

$\Delta>0$, więc postać iloczynowa istnieje.

Obliczamy miejsca zerowe:

$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{7-11}{2\cdot3}=\frac{-4}6=-\frac23$

$x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{7+11}{2\cdot3}=\frac{18}6=3$

Postać iloczynowa funkcji $f$:

$f(x)=3(x-(-\frac23))(x-3)$$=3(x+\frac23)(x-3)$

Uwaga: Gdy mamy podaną postać iloczynową funkcji to łatwo możemy odczytać jej miejsca zerowe, ponieważ w postaci iloczynowej występują miejsca zerowe. Są to te liczby odejmowane od $x$ w nawiasach.

Przykład: Znajdź miejsca zerowe funkcji $f(x)=2(x-2)(x+5)$, która jest w postaci iloczynowej.

Miejscami zerowymi funkcji $f(x)=2(x-2)(x+5)$ są liczby $2$ i $-5$. Są to po prostu te liczby, które są odejmowane od $x$ w nawiasach. Bierzemy te liczby z nawiasów z przeciwnym znakiem.

Więcej przykładów

Przykład: Oblicz miejsce zerowe funkcji kwadratowej $f(x)=(x+1)^2+4x+8$.

Widzimy, że nie jest podana postać ogólna funkcji kwadratowej. Najpierw musimy uporządkować wzór naszej funkcji, żeby móc znaleźć miejsca zerowe. Przekształcamy:
Uwaga na wzór skróconego mnożenia!

$f(x)=(x+1)^2+4x+8$$=x^2+2x+1+4x+8$$=x^2+6x+9$

Z takiej postaci liczymy deltę.

$\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot9$$=36-36=0$

Delta jest równa $0$, więc mamy jedno miejsce zerowe.

$x_0=\frac{-b}{2a}={-6}2=-3$

Liczba $-3$ jest podwójnym pierwiastkiem funkcji $f$.

Przykład: Dla jakich wartości parametru $m$ funkcja kwadratowa $f(x)=x^2+6x+2m-1$ ma dwa miejsca zerowe?

Aby funkcja miała dwa miejsca zerowe delta musi być większa od zera. Więc liczymy deltę. Nie przejmujemy się, że pojawia się dodatkowo literka $m$, traktujemy ją normalnie jak liczbę we wzorze funkcji:
 
$a=1, b=6, c=2m-1$
$\Delta=b^2-4ac=m^2-4\cdot1\cdot(2m$$-1)=36-8m+4=40-8m$
 
Ustaliliśmy, że $\Delta>0$, żeby funkcja miała dwa miejsca zerowe, więc
$40-8m>0$
 
Przenosimy $8m$ na prawą stronę:
$40>8m$
Dzielimy stronami przez $8$:
$5>m$
 
Zatem delta jest dodatnia, gdy $m<5$.

Odpowiedź:
Funkcja ma dwa miejsca zerowe dla $\boldsymbol m\boldsymbol<\mathbf5$.

Przykład: Sprawdź czy podane funkcje mają takie same miejsca zerowe $f(x)=2x^2+13x+15$, $g(x)=-\frac13(x+5)(x+1,5)$.

Obliczmy miejsca zerowe funkcji $f$.
$\Delta=b^2-4ac=13^2-4\cdot2\cdot15$$=169-120=49$
$\sqrt\Delta=7$
 
$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-13-7}{2\cdot2}=\frac{-20}4=-5$
 
$x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-13+7}{2\cdot2}=\frac{-6}4$$=-\frac32=-1,5$
 
Teraz przyjrzyjmy się funkcji $g$. Zauważmy, że jest zapisana w postaci iloczynowej, więc bez trudu możemy odczytać jej miejsca zerowe. Są nimi liczby $-5$ i $-1,5$.

Odpowiedź:
Miejsca zerowe obu funkcji są takie same.

Przykład: Sprawdź czy funkcja kwadratowa $f(x)=-x^2+x+1$ ma miejsca zerowe przeciwnych znaków.

W tym celu obliczamy miejsca zerowe funkcji $f$.

$\Delta=b^2-4ac=1^2-4\cdot(-1)\cdot1$$=1+4=5$
$\sqrt\Delta=\sqrt5$

$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-1-\sqrt5}{2\cdot(-1)}=\frac{-1-\sqrt5}{-2}$$=\frac{1+\sqrt5}2>0$ (jest dodatnie, ponieważ dzielimy liczbę dodatnią przez liczbę dodatnią)

$x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-1+\sqrt5}{2\cdot(-1)}$$=\frac{-1+\sqrt5}{-2}<0$ (jest ujemne, ponieważ dzielimy liczbę dodatnią $-1+\sqrt5$ przez liczbę ujemną $-2$)

Odpowiedź:
Funkcja ma miejsca zerowe różnych znaków – jedno ujemne, a drugie dodatnie.

Przykład: Miejscem zerowym funkcji $f(x)=-2x^2+2(k+1)x-k+3$ jest liczba $-1$. Znajdź $k$.

Skoro $-1$ jest miejscem zerowym funkcji $f$ to dla argumentu $x=-1$ funkcja osiąga wartość $0$. Wstawiamy więc $-1$ za $x$ i $0$ za wartość funkcji, czyli za $f(x)$.
 
$0=-2\cdot(-1)^2+2(k+1)\cdot(-1)$$-k+3$
 
Rozwiązujemy równanie z niewiadomą $k$.

$0=-2-2k-2$$-k+3$
$0=-1-3k$
$3k=-1$
$k=-\frac13$

Odpowiedź:
Otrzymujemy, że $k=-\frac{1}{3}$.

0