Nierównością kwadratową nazywamy każdą z nierówności:
$$ax^2+bx+c>0$$

$$ax^2+bx+c\ge 0$$

$$ax^2+bx+c<0$$ $$ax^2+bx+c\le 0$$ gdzie $a,b,c \in \mathbb {R}, a \ne 0, x \in \mathbb {R}$-zmienna.

Aby rozwiązać nierówność kwadratową trzeba:

  1. Obliczyć deltę. (najpierw przenieś wszystko na lewą stronę nierówności i przyrównaj do zera)
  2. Znaleźć miejsca zerowe jeśli istnieją.
  3. Naszkicować parabole. (wyznaczając miejsca zerowe o ile istnieją, ramiona paraboli mają być skierowane w górę gdy a>0 w dół gdy a<0)
  4. Zaznaczyć przedział, który odpowiada danej nierówności.
  5. Zapisać rozwiązanie.

Wzór na delte kliknij tutaj
Miejsca zerowe funkji kwadratowej kliknij tutaj

Przykład
Rozwiąż nierówność $x^2+x-2\le 0$
Rozwiązanie
1. Liczymy delte
$$\Delta=1^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8= 9$$
2. Znajdujemy miejsca zerowe
$$x_1=\frac{-1-\sqrt 9}{2\cdot 1}=\frac{-1-3}{2}=-2$$
$$x_2=\frac{-1+\sqrt 9}{2\cdot 1}=\frac{-1+3}{2}=1$$
3. Szkicujemy parabole

Ramiona skierowane są w górę, ponieważ współczynnik $a$ stojący przy $x^2$ jest większy od zera.
4. Zaznaczamy przedział który odpowiada danej nierówności

Szukamy wartości mniejszych bądź równych od zera, więc zaznaczamy wartości pod osia OX i kółeczka zamalowujemy.
5. Zapisujemy rozwiązanie
$$ x\in[-2,1]$$
Przykład
Rozwiąż nierówność $3x^2+6x+10>0$
Rozwiązanie
$\Delta =6^2-4\cdot 3 \cdot 10=36-120 $$ =(-84)$
Zatem $\Delta <0$, więc funkcja nie ma miejsc zerowych. Szkicujemy wykres
Parabola ma ramion skierowane w górę, ponieważ współczynnik $a$ stojący przy $x^2$ jest dodatni. Wykres funkcji jest nad osia OX, ponieważ funkcja nie ma miejsc zerowych. Szukamy wartości większych od 0, funkcja jest nad osi OX, zatem dla wszystkich x ta nierówność jest spełniona.
Odpowiedź: $x\in \mathbb {R}$.
Przykład
Rozwiąż nierówność $x^2+4x \ge 0$
Rozwiązanie
W tym przypadku nie musimy liczyć delty możemy od razu wyznaczyć miejsca zerowe.
$$x^2+4x=0$$
Wyciągamy $x$ przed nawias
$$x(x+4)=0$$
Zatem miejsca zerowe to:
$$x_1=0$$ $$x_2=-4$$
Szkicujemy prabole

Zaznaczamy przedział, który odpowiada danej nierówności: $x^2+4x \ge 0$

Odpowiedź: $x \in (- \infty, -4] \cup [0, \infty)$
0