Okrąg opisany na kwadracie

okrąg opisany na kwadracie
Każdy okrąg można opisać na kwadracie

$$R = \frac{1}{2}\cdot d$$ $$d = a\sqrt{2} $$ $$ \bf R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Okrąg wpisany w kwadracie

okrąg wpisany w kwadracie
W każdy kwadrat można wpisać okrąg

$$r = \frac{1}{2}\cdot a$$

Przykłady zadań

Przykład 1: Oblicz pole koła wpisanego w kwadrat o boku długości 100.
Rozwiązanie: Oznaczmy przez $r$ promień koła wpisanego w kwadrat.

Promień koła wpisanego w kwadrat jest równy połowie długości jego boku. Zatem
$r=\frac{100}{2}=50$
Obliczamy pole:
$P=\pi r^2=\pi\cdot 50^2=2500\pi$
Odpowiedź: Pole koła wynosi $2500\pi$.
Przykład 2: Oblicz pole zacieniowanego obszaru:
Rozwiązanie: Oznaczmy przez $a$ długość boku kwadratu, zaś przez $r$ promień okręgu. Wiedząc, że $r=4$ oraz z tego, że promień okręgu wpisanego do kwadratu jest połową boku tego kwadratu mamy:
$a=2r$
$a=2\cdot 4$
$a=8$

Oznaczmy przez $P_{kwadratu}$ pole kwadratu, $P_{koła}$ – pole koła, zaś przez $P$ pole obszaru zacieniowanego.

Obliczymy pole kwadratu:
$P_{kwadratu}=a^2$
$P_{kwadratu}=8^2$
$P_{kwadratu}=64$

I pole koła:
$P_{koła}=\pi r^2$
$P_{koła}=\pi \cdot 4^2$
$P_{koła}=16\pi$

Następnie obliczymy pole obszaru zacieniowanego odejmując od pola kwadratu pole koła:
$P=P_{kwadratu}-P_{koła}$
$P=64-16\pi$

Odpowiedź: Pole zacieniowanego obszaru to $64-16\pi$.

Przykład 3: Oblicz pole koła opisanego na kwadracie o boku długości 100.
Rozwiązanie: Oznaczmy przez $R$ promień koła opisanego na kwadracie.

Obliczymy najpierw długość przekątnej kwadratu:
$|BD|^2=100^2+100^2$
$|BD|^2=20000$
$|BD|=\sqrt{20000}=\sqrt{2\cdot 10000}$$=100\sqrt{2}$

Teraz wyznaczymy $R$, wiedząc, że promień koła opisanego na kwadracie jest równy połowie długości jego przekątnej.
$R=\frac{1}{2}\cdot 100\sqrt{2}=50\sqrt{2}$

Obliczamy pole:
$P=\pi \cdot (50\sqrt{2})^2=5000\pi$

Odpowiedź: Pole koła wynosi $5000\pi$.

Więcej przykładów

Przykład 4: Oblicz pole zacieniowanego obszaru:
Rozwiązanie: Niech $d$ oznacza długość przekątnej kwadratu, $a$ – długość boku kwadratu, zaś $R$ promień koła opisanego na kwadracie.

Wiemy, że promień okręgu opisanego na kwadracie jest połową jego przekątnej zatem:
$d=2\cdot R$
$d=2\cdot 6$
$d=12$

Teraz z twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość boku kwadratu
(długość boku można wyznaczyć również ze wzoru na przekątną $d=a\sqrt{2}$):
$a^2+a^2=d^2$
$2a^2=12^2$
$2a^2=144$
$a^2=72$
$a=\sqrt{72}$
$a=6\sqrt{2}$

Oznaczmy przez $P_{kwadratu}$ pole kwadratu, $P_{koła}$ – pole koła, zaś przez $P$ pole obszaru zacieniowanego.

Obliczamy pole koła:
$P_{koła}=\pi \cdot 6^2$
$P_{koła}=36\pi$

I pole kwadratu:
$P_{kwadratu}=(6\sqrt{2})^2$
$P_{kwadratu}=72$

Aby obliczyć pole obszaru zacieniowanego odejmujemy od pola koła pole kwadratu:
$P=P_{koła}-P_{kwadratu}$
$P=36\pi-72$

Odpowiedź: Pole zacieniowanego obszaru wynosi $36\pi – 72$.

Przykład 5: Koło wpisane w kwadrat ma pole $36\pi$ $cm^2$. Znajdź pole i obwód kwadratu.
Rozwiązanie: Oznaczmy przez $r$ promień koła wpisanego w kwadrat, zaś przez $a$ długość boku kwadratu.

Obliczymy promień koła korzystając ze wzoru na pole koła:
$P=\pi r^2$
$36\pi=\pi r^2$  – dzielimy obie strony równania przez π:
$r^2=36$
$r=6$

Promień koła wpisanego w kwadrat jest równy połowie długości jego boku. Zatem
$a=2r$
$a=2\cdot 6$
$a=12$

Oznaczmy przez $P_{kwadratu}$ pole kwadratu, zaś przez $L_{kwadratu}$ obwód kwadratu.
Obliczamy pole kwadratu korzystając ze wzoru:
$P_{kwadratu}=a^2$
$P_{kwadratu}=12^2$
$P_{kwadratu}=144$

I obwód kwadratu:
$L_{kwadratu}=4\cdot a$
$L_{kwadratu}=4\cdot 12$
$L_{kwadratu}=48$

Odpowiedź: Pole kwadratu wynosi $144$ $cm^2$, zaś obwód $48$ $cm$.

0