Okrąg wpisany w trójkąt

Okrąg, który jest styczny do wszystkich boków trójkąta, nazywamy okręgiem wpisanym w trójkąt. Wówczas o trójkącie powiemy, że jest to trójkąt opisany na okręgu.
Uwaga: W każdy trójkąt możemy wpisać okrąg.

Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży na przecięciu dwusiecznych kątów tego trójkąta.

Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt obliczamy ze wzoru:
$$r=\frac{P}{p}$$
gdzie $P$ – pole trójkąta, $p$ – połowa obwodu trójkąta, czyli $p=\frac{a+b+c}{2}$.

Uwaga: Powyższy wzór jest w karcie wzorów pod postacią $P=rp$.

Przykłady

Przykład 1: Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt o bokach $10$ $cm$, $8$ $cm$ i $8$ $cm$.
Rozwiązanie: Mamy trójkąt równoramienny o bokach $10$ $cm$, $8$ $cm$ i $8$ $cm$:

Najpierw obliczymy $p$, czyli połowę obwodu trójkąta.
$p=\frac{8+8+10}{2}=13$
Teraz poprowadzimy wysokość $h$ na podstawę o długości $10$ $cm$.

Z twierdzenia Pitagorasa obliczymy wysokość $h$.
$h^{2}+5^{2}=8^{2}$
$h^{2}+25=64$
$h^{2}=64-25$
$h^{2}=39$
$h=\sqrt{39}$
Następnie obliczymy pole trójkąta.
$P=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot h$
$P=\frac{1}{2}\cdot 10 \sqrt{39}$
$P=5\sqrt{39}$
Teraz obliczamy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt ze wzoru:
$r=\frac{P}{p}$
$r=\frac{5\sqrt{39}}{13}$
Odpowiedź: Szukana długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt wynosi $\frac{5\sqrt{39}}{13}$ $cm$.
Przykład 2: Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt:

Rozwiązanie: Niech $a$ będzie długością podstawy tego trójkąta.

Najpierw z twierdzenia Pitagorasa obliczymy $x$:
$x^{2}+16^{2}=20^{2}$
$x^{2}=400-256$
$x^{2}=144$
$x=12$
Analogicznie obliczamy $y$:
$y^{2}+16^{2}=34^{2}$
$y^{2}=1156-256$
$y^{2}=900$
$y=30$
Zatem $a$ wynosi:
$a=x+y$
$a=12+30$
$a=42$
Teraz obliczymy pole trójkąta.
$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 16$
$P=\frac{1}{2}\cdot 42\cdot 16$
$P=8\cdot 42$
$P=336$
Połowa obwodu trójkąta wynosi:
$p=\frac{20+34+42}{2}$
$p=\frac{96}{2}$
$p=48$
Obliczamy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt ze wzoru:
$r=\frac{P}{p}$
$r=\frac{336}{48}$
$r=7$
Odpowiedź: Szukana długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt wynosi 7.

Przykład 3: W trójkąt równoramienny o obwodzie równym $56$ $cm$ wpisano okrąg, którego promień stanowi $\frac{2}{7}$ długości wysokości poprowadzonej do podstawy trójkąta. Oblicz długości boków trójkąta.

Rozwiązanie: Mamy następujący trójkąt:

Wiemy, że obwód tego trójkąta jest równy $56$ $cm$. Zatem
$2a+2b=56$
$a+b=28$
Z treści polecenia wiemy, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt stanowi $\frac{2}{7}$ długości wysokości:

W trójkącie CSE mamy:
$sin(\alpha)=\frac{2x}{5x}=\frac{2}{5}$
Zaś w trójkącie CDB mamy:
$sin(\alpha)=\frac{a}{b}$
Przyrównując do siebie powyższe równości otrzymujemy, że:
$\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$
$2b=5a$
Otrzymujemy następujący układ równań:
$
\left\{ \begin{array}{ll}
a+b=28\\
2b=5a
\end{array} \right.
$
$
\left\{ \begin{array}{ll}
b=28-a\\
2b=5a
\end{array} \right.
$
Podstawiamy $b$ z pierwszego równania do drugiego:
$2(28-a)=5a$
$56-2a=5a$
$56=7a$
Zatem
$
\left\{ \begin{array}{ll}
a=8\\
b=28-8=20
\end{array} \right.
$
Ramiona trójkąta są długości $20$ $cm$, zaś podstawa jest równa $2a=2\cdot 8=16$ $cm$.
Odpowiedź: Boki trójkąta mają długości $20$ $cm$, $20$ $cm$ i $16$ $cm$.

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $a$, $b$ i przeciwprostokątnej $c$ wpiszemy okrąg o promieniu $r$.

Otrzymujemy następujący wzór na długość przeciwprostokątnej $c$:
$$c=b-r+a-r$$
Przekształcając powyższą równość otrzymamy wzór na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:
$$r=\frac{a+b-c}{2}$$

Przykład 4: Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt o przyprostokątnych długości $6$ $cm$ i $8$ $cm$.
Rozwiązanie: Oznaczmy przez $c$ długość przeciwprostokątnej.

Najpierw z twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość przeciwprostokątnej $c$:
$c^{2}=6^{2}+8^{2}$
$c^{2}=36+64$
$c^{2}=100$
$c=10$
Teraz skorzystamy ze wzoru na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:
$r=\frac{a+b-c}{2}$
$r=\frac{6+8-10}{2}$
$r=\frac{4}{2}$
$r=2$
Odpowiedź: Szukana długość promienia wynosi $2$ $cm$.

Okrąg wpisany w trójkąt równoboczny

W trójkąt równoboczny o boku $a$ i wysokości $h$ wpiszemy okrąg o promieniu $r$.

W trójkącie równobocznym punkt przecięcia wysokości $h$ jest środkiem okręgu wpisanego. Punkt ten dzieli wysokości w stosunku $2:1$ licząc od wierzchołka.
Krótszy z tych odcinków jest promieniem okręgu wpisanego:
$$r=\frac{1}{3}\cdot h$$

Przykład 5: Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku długości $8$ $cm$.
Rozwiązanie: Oznaczmy przez $a$ długość boku trójkąta równobocznego. Zatem
$a=8$
Teraz skorzystamy ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym:
$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
$h=\frac{8\sqrt{3}}{2}$
$h=4\sqrt{3}$
Następnie wykorzystamy wzór na długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny:
$r=\frac{1}{3}\cdot h$
$r=\frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{3}$
$r=\frac{4\sqrt{3}}{3}$
Odpowiedź: Szukana długość promienia wynosi $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ $cm$.

Okrąg opisany na trójkącie

Okrąg, na którym leżą wszystkie wierzchołki trójkąta, nazywamy okręgiem opisanym na trójkącie. Wówczas o trójkącie mówimy, że jest to trójkąt wpisany w okrąg.
Uwaga: Okrąg możemy opisać na każdym trójkącie.

Środek okręgu opisanego na trójkącie leży na przecięciu symetralnych boków trójkąta.

Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie obliczamy ze wzoru:
$$R=\frac{abc}{4P}$$
gdzie $a$, $b$, $c$ – długości boków trójkąta, $P$ – pole trójkąta.

Uwaga: Powyższy wzór jest w karcie wzorów pod postacią $P=\frac{abc}{4R}$.
Przykład 6: Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach długości $13$ $cm$, $13$ $cm$ i $10$ $cm$.
Rozwiązanie: Mamy trójkąt równoramienny o bokach długości $13$ $cm$, $13$ $cm$ i $10$ $cm$:

Teraz poprowadzimy wysokość $h$ na podstawę o długości $10$ $cm$.

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy $h$.
$h^{2}+5^{2}=13^{2}$
$h^{2}=169-25$
$h^{2}=144$
$h=12$
Następnie obliczamy pole trójkąta.
$P=\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h$
$P=\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12$
$P=60$
Teraz korzystamy ze wzoru na długość promienia okręgu opisanego na trójkącie:
$R=\frac{abc}{4P}$
$R=\frac{13\cdot 13\cdot 10}{4\cdot 60}$
$R=\frac{169}{24}=7\frac{1}{24}$
Odpowiedź: Szukana długość promienia okręgu opisanego wynosi $7\frac{1}{24}$ $cm$.

Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym

Okrąg o promieniu $R$ opiszemy na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $a$, $b$ i przeciwprostokątnej $c$.

Przeciwprostokątna trójkąta jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym. Zatem długość przeciwprostokątnej wynosi:
$$c=2R$$
Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym obliczamy z następującego wzoru:
$$R=\frac{1}{2}\cdot c$$

Przykład 7: Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości $10$ $cm$ i $12$ $cm$.
Rozwiązanie: Niech $c$ oznacza długość przeciwprostokątnej trójkąta:

Najpierw z twierdzenia Pitagorasa obliczymy $c$:
$c^{2}=10^{2}+12^{2}$
$c^{2}=100+144$
$c^{2}=244$
$c=\sqrt{244}=\sqrt{4\cdot 61}=2\sqrt{61}$
Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym obliczamy ze wzoru:
$R=\frac{1}{2}\cdot c$
$R=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{61}$
$R=\sqrt{61}$
Odpowiedź: Szukana długość promienia okręg opisanego na trójkącie prostokątnym wynosi $\sqrt{61}$ $cm$.
Przykład 8: Trzy punkty okręgu o promieniu długości $R=\sqrt{5}$ $cm$ są wierzchołkami trójkata prostokątnego równoramiennego. Wyznacz długości boków tego trójkąta.
Rozwiązanie: Niech $c$ oznacza długość przeciwprostokątnej w trójkącie:

Średnica okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest jego przeciwprostokątną. Zatem
$c=2R=2\sqrt{5}$
Teraz z twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość boku $a$.
$a^{2}+a^{2}=c^{2}$
$2a^{2}=(2\sqrt{5})^{2}$
$2a^{2}=4\cdot 5$
$2a^{2}=20$
$a^{2}=10$
$a=\sqrt{10}$
Odpowiedź: Długości boków trójkąta wynoszą $\sqrt{10}$ $cm$, $\sqrt{10}$ $cm$ i $2\sqrt{5}$ $cm$.

Okrąg opisany na trójkącie równobocznym

Okrąg o promieniu $R$ opiszemy na trójkącie równobocznym o boku a.

W trójkącie równobocznym punkt przecięcia wysokości $h$ jest także środkiem okręgu opisanego. Punkt ten dzieli wysokości w stosunku $2:1$ licząc od wierzchołka.
Dłuższy z tych odcinków jest promieniem okręgu opisanego:
$$R=\frac{2}{3}\cdot h$$

Przykład 9: Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku długości $6$ $cm$.
Rozwiązanie: Oznaczmy przez $a$ długość boku trójkąta równobocznego. Zatem
$a=6$
Teraz skorzystamy ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym:
$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
$h=\frac{6\sqrt{3}}{2}$
$h=3\sqrt{3}$
Następnie wykorzystamy wzór na długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równobocznym:
$R=\frac{2}{3}\cdot h$
$R=\frac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}$
$R=2\sqrt{3}$
Odpowiedź: Szukana długość promienia okręgu opisanego wynosi $2\sqrt{3}$ $cm$.
0