Ostrosłup prawidłowy sześciokątny

Tworzenie ostrosłupów jest intuicyjnie nieco trudniejsze od tworzenia graniastosłupów, dlatego poza definicją formalną podamy krótki opis powstawania ostrosłupów krok po kroku.

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny to ostrosłup, który ma w podstawie sześciokąt foremny, a jego wysokość pada na punkt przecięcia się dłuższych przekątnych tego sześciokąta.

Jak powstaje ostrosłup prawidłowy sześciokątny krok po kroku?

  1. Bierzemy dowolny sześciokąt foremny i zaznaczamy punkt przecięcia się jego dłuższych przekątnych.
  2. Na prostej prostopadłej do płaszczyzny naszego sześciokąta i przechodzącej przez punkt $S$ wybieramy punkt $W\neq S$. Tworzymy odcinki $AW,\: BW,\: CW,\: DW,\: EW,\: FW$ otrzymana w ten sposób bryła jest ostrosłupem prawidłowym sześciokątnym.
Zwróćmy uwagę na to, jak wygląda siatka ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego i jakie są jej wymiary:
siatka opsz

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma zawsze:

  • 7 ścian
  • 12 krawędzi
  • 7 wierzchołków
Przypomnijmy, że sześciokąt foremny składa się z 6-ściu trójkątów równobocznych i idące za tym zależności
sześciokąt przypomnienie
Przypomnienie: wzory na pole i wysokość w trójkącie równobocznym:
$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
$P_{\triangle}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Zatem pole naszego sześciokąta wyraża się wzorem:
$P=6\cdot P_{\triangle}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego

Objętość ostrosłupa wyraża się wzorem:

$V=\frac{1}{3}Pole\: podstawy\cdot wysokość\: ostrosłupa$

W przypadku ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego podstawą jest sześciokąt foremny, zatem

$Pole\: podstawy=\frac{3a^2\sqrt3}{2}$

Ostatecznie mamy:

Objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wyraża się wzorem:
$$V=\frac{a^2\sqrt3}{2}H$$

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego można opisać na wiele sposobów w zależności od tego, jakie mamy dostępne dane. Poniżej pokażemy najczęściej zapisywaną formę tego wzoru.

Dla oznaczeń jak na rysunku, pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego określa wzór:

$$P_{C}=\underbrace{\frac{3a^2\sqrt3}{2}}_{Pole\: podstawy}+\overbrace{6}^{6\: ścian\: bocznych}\cdot \underbrace{\frac{1}{2}ah}_{Pole\: ściany\: bocznej}=\frac{3a^2\sqrt3 + 6ah}{2}$$

Kąty w ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym

Przykład 1: W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź boczna nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^{\circ},$ a krawędź podstawy ma długość 6. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Narysujmy obrazek poglądowy:

Narysujmy dodatkowo trójkąt $FSW$

Korzystając z zależności sześciokąta foremnego widzimy, że $\mid FS \mid = \mid AB \mid = 6$
Możemy teraz obliczyć długość odcinka $SW,$ czyli wysokości naszego ostrosłupa.
$tg60^{\circ}=\frac{\mid SW \mid}{\mid FS \mid}$
$\sqrt3=\frac{\mid SW \mid}{6}$
$6\sqrt3 = \mid SW \mid$
Podstawiając do wzoru na objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego otrzymujemy:
$V=\frac{\mid AB \mid ^2 \sqrt3}{2} \mid SW \mid=\frac{6^2 \sqrt3}{2}\cdot 6\sqrt3 =324$
Odpowiedź: Objętość tego ostrosłupa to $324.$
Przykład 2: Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość 12 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^{\circ}.$ Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Narysujmy obrazek poglądowy:

Narysujmy dodatkowo trójkąty $FSW,\: GSW \: oraz \: BSC$

Na początek obliczmy długość odcinka $FS,$ oraz odcinka $SW$
$cos60^{\circ}=\frac{\mid FS \mid}{\mid FW \mid}$
$\frac{1}{2}=\frac{\mid FS \mid}{12}$
$\mid FS \mid=6$
$sin60^{\circ}=\frac{\mid SW \mid}{\mid FW \mid}$
$\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\mid SW \mid}{12}$
$\mid SW \mid=6\sqrt3$
Z zależności w sześciokącie foremnym widzimy, że $\mid AB \mid =\mid FS \mid$
Policzmy teraz długość odcinka $SG$ ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego
$\mid SG \mid=\frac{\mid AB \mid \sqrt3}{2}=\frac{6 \sqrt3}{2}=3\sqrt3$
Pozostało policzyć długość odcinka $GW$ z twierdzenia Pitagorasa
$\mid SG \mid ^2 + \mid SW \mid ^2 = \mid GW \mid ^2$
$3\sqrt3 ^2 + 6\sqrt3 ^2 =\mid GW \mid ^2$
$9\cdot 3 +36 \cdot 3 =\mid GW \mid ^2$
$\mid GW \mid ^2=27+108=135$
$\mid GW \mid = \sqrt{135} \quad \vee \quad \mid GW \mid =-\sqrt{135}$
Ponieważ odległość musi być nieujemna
$\mid GW \mid = \sqrt{135}=\sqrt{9\cdot 15}= 3\sqrt{15}$
Pozostało podstawić dane do wzoru na pole powierzchni całkowitej
$P_{C}=\frac{3\mid AB \mid \sqrt3 + 6\mid AB \mid \cdot \mid GW \mid}{2}=\frac{3\cdot 6^2 \sqrt3 +^\cdot 6 \cdot 3\sqrt{15}}{2}=\frac{108\sqrt3+18\sqrt{15}}{2}=54\sqrt3 +9 \sqrt{15}$
Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa, to $54\sqrt3 +9 \sqrt{15}.$
0