Twierdzenie Talesa
Twierdzenie Talesa jest niczym innym jak umiejętnym korzystaniem z własności trójkątów podobnych.
Twierdzenie (Talesa)
Jeśli ramiona kąta przetniemy kilkoma prostymi równoległymi do siebie, to otrzymamy odcinki proporcjonalne, np. odcinki na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do tych na drugim ramieniu tego kąta.
Jeśli ramiona kąta przetniemy kilkoma prostymi równoległymi do siebie, to otrzymamy odcinki proporcjonalne, np. odcinki na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do tych na drugim ramieniu tego kąta.
Twierdzenie Talesa najczęściej spotyka się w dwóch przypadkach:
Przypadek 1:
Ze względu na często popełniane błędy zwróćmy uwagę na to, że dla poniższego zachodzi nierówność:
$$\frac{a}{c}\neq \frac{b}{d}$$
Wiele osób popełnia błąd zakładając, że powyższa nierówność jest równością.
Prawdziwa proporcja(przedstawiona na obrazku poniżej), to
$$\frac{a}{c}= \frac{a+b}{d}$$Proporcje w tym przypadku twierdzenia Talesa można wyobrazić sobie jako dwie „kosy”(oznaczone na obrazku kolorem czerwonym i niebieskim), których koniec uchwytu rozpoczyna się w tym samym punkcie. Stosunek długości uchwytu kosy do długości jej ostrza jest taki sam dla „kosy” niebieskiej i czerwonej.
$$\frac{a}{c}\neq \frac{b}{d}$$
Wiele osób popełnia błąd zakładając, że powyższa nierówność jest równością.
Prawdziwa proporcja(przedstawiona na obrazku poniżej), to
$$\frac{a}{c}= \frac{a+b}{d}$$Proporcje w tym przypadku twierdzenia Talesa można wyobrazić sobie jako dwie „kosy”(oznaczone na obrazku kolorem czerwonym i niebieskim), których koniec uchwytu rozpoczyna się w tym samym punkcie. Stosunek długości uchwytu kosy do długości jej ostrza jest taki sam dla „kosy” niebieskiej i czerwonej.
Przypadek 2:
Ze względu na często popełniane błędy zwróćmy uwagę na to, że dla poniższego obrazka mamy:
- $\frac{a}{c}\neq \frac{b}{d},$ tylko $\frac{a}{c}= \frac{d}{b}$
- $\frac{b}{f}\neq \frac{a}{e},$ tylko $\frac{b}{f}=\frac{c}{e}$
Wiele osób popełnia błąd myśląc, że powyższe nierówności są równościami.
Przykład 1: W odległości 10 m od 3- metrowej latarni stoi człowiek, rzucający 5- metrowy cień. Jakiego jest wzrostu?
Korzystając z twierdzenia Talesa obliczamy długość odcinka $BB^{\prime}$, który oznacza wzrost człowieka
Zauważmy, że przypadek w zadaniu jest analogiczny jak tu:
I możemy skorzystać z tej proporcji dla
$c=\mid AB^{\prime}\mid \quad c^{\prime}=\mid BB^{\prime}\mid \quad d= \mid AC^{\prime} \mid \quad d^{\prime}=\mid CC^{\prime} \mid$
Mamy zatem:
$\frac{5}{\mid BB^{\prime}\mid}=\frac{15}{3}$
$15\mid BB^{\prime}\mid=15$
$\mid BB^{\prime}\mid=1[m]$
Odpowiedź: Człowiek ma 1 metr wzrostu.
Zauważmy, że przypadek w zadaniu jest analogiczny jak tu:
I możemy skorzystać z tej proporcji dla
$c=\mid AB^{\prime}\mid \quad c^{\prime}=\mid BB^{\prime}\mid \quad d= \mid AC^{\prime} \mid \quad d^{\prime}=\mid CC^{\prime} \mid$
Mamy zatem:
$\frac{5}{\mid BB^{\prime}\mid}=\frac{15}{3}$
$15\mid BB^{\prime}\mid=15$
$\mid BB^{\prime}\mid=1[m]$
Odpowiedź: Człowiek ma 1 metr wzrostu.
Przykład 2: Wiedząc, że odcinki $BB^{\prime}$ i $CC^{\prime}$ są równoległe znajdź x.
Z twierdzenia Talesa odczytujemy zależność:
$\frac{AB^{\prime}}{BB^{\prime}}=\frac{AC^{\prime}}{CC^{\prime}}$
Czyli liczymy:
$\frac{2}{3}=\frac{2+x}{5}$
$3(2+x)=10$
$6+3x=10 \mid-6$
$3x=4 \mid:3$
$x=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$
Odpowiedź: $x=1\frac{1}{3}$
$\frac{AB^{\prime}}{BB^{\prime}}=\frac{AC^{\prime}}{CC^{\prime}}$
Czyli liczymy:
$\frac{2}{3}=\frac{2+x}{5}$
$3(2+x)=10$
$6+3x=10 \mid-6$
$3x=4 \mid:3$
$x=\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$
Odpowiedź: $x=1\frac{1}{3}$
Przykład 3: Proste k, l, m są równoległe. Oblicz długość odcinków: $\mid CC^{\prime} \mid; \mid CD \mid; \mid B^{\prime}C^{\prime}\mid; \mid AB^{\prime} \mid$
Z twierdzenia Talesa mamy:
- $\frac{\mid AB\mid}{\mid BB^{\prime}\mid}=\frac{\mid AC\mid}{\mid CC^{prime}\mid}$
$\frac{4}{3}=\frac{4+2}{\mid CC^{\prime}\mid}$
$\mid CC^{prime}\mid=\frac{6\cdot3}{4}=\frac{9}{2}=4\frac{1}{2}$ - $\frac{\mid AB\mid}{\mid BB^{\prime}\mid}=\frac{\mid AD\mid}{\mid DD^{\prime}\mid}$
$\frac{4}{3}=\frac{4+2+\mid CD\mid}{9} \mid\cdot9$
$6+\mid CD\mid=12 \mid-6$
$\mid CD\mid=6$ - $\frac{\mid BC\mid}{\mid CD\mid}=\frac{\mid B^{\prime}C^{\prime}\mid}{\mid C^{\prime}D^{\prime}\mid}$
$\frac{2}{6}=\frac{\mid B^{\prime}C^{\prime}\mid}{8}$
$6\mid B^{\prime}C^{\prime}\mid=16 \mid:6$
$\mid B^{\prime}C^{\prime}\mid=\frac{16}{6}=2\frac{2}{3}$ - $\frac{\mid AB\mid}{\mid BC\mid}=\frac{\mid AB^{\prime}\mid}{\mid B^{\prime}C^{\prime}\mid}$
$\frac{2}{4}=\frac{\mid AB^{\prime}\mid}{\frac{8}{3}}\mid\cdot\frac{8}{3}$
$\mid AB^{\prime}\mid=2\cdot\frac{8}{3}=\frac{16}{3}$
Przykład 4: Wiedząc, że $k \parallel l,$ oblicz długość odcinka $BB^{\prime}.$
Z twierdzenia Talesa odczytujemy proporcje
$\frac{6}{3}=\frac{2}{\mid BB^{\prime}\mid }$
Mamy zatem:
$2=\frac{2}{\mid BB^{\prime}\mid }$
$\mid BB^{\prime}\mid = 1$
Odpowiedź: Długość odcinka $BB^{\prime},$ to 1.
$\frac{6}{3}=\frac{2}{\mid BB^{\prime}\mid }$
Mamy zatem:
$2=\frac{2}{\mid BB^{\prime}\mid }$
$\mid BB^{\prime}\mid = 1$
Odpowiedź: Długość odcinka $BB^{\prime},$ to 1.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa
W twierdzeniu odwrotnym do twierdzenia Talesa mamy sytuację analogiczną, z tą różnicą, że dany mamy stosunek odcinków, a pytanie, które zadajemy to: „Czy te proste są równoległe?”.
Twierdzenie (odwrotne do twierdzenia Talesa)
Jeżeli ramiona kąta o wierzchołku $A$ przecięte są dwiema prostymi $k$ i $l,$ przy czym prosta $l$ przecina ramiona kąta w punktach $C$ i $C^{\prime}$ a prosta $k$ w punktach $B$ i $B^{\prime}$(jak na obrazku) oraz $\frac{\mid A\color{red}{B^{\prime} \mid}}{\mid A\color{blue}{C^{\prime} \mid}}=\frac{\mid A\color{red}{B \mid}}{\mid A\color{blue}{C \mid}}$, to $k \parallel l$.
Jeżeli ramiona kąta o wierzchołku $A$ przecięte są dwiema prostymi $k$ i $l,$ przy czym prosta $l$ przecina ramiona kąta w punktach $C$ i $C^{\prime}$ a prosta $k$ w punktach $B$ i $B^{\prime}$(jak na obrazku) oraz $\frac{\mid A\color{red}{B^{\prime} \mid}}{\mid A\color{blue}{C^{\prime} \mid}}=\frac{\mid A\color{red}{B \mid}}{\mid A\color{blue}{C \mid}}$, to $k \parallel l$.
Uwaga: Warunek „$\frac{\mid AB^{\prime} \mid}{\mid AC^{\prime} \mid}=\frac{\mid AB \mid}{\mid AC \mid}$” można zastąpić równoważnymi warunkami. Proporcji do tego warunku szukamy analogicznie jak w twierdzeniu Talesa.
Przykład 1: Sprawdź, czy proste $k$ i $l$ są względem siebie równoległe.
Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa musimy sprawdzić, czy $\frac{\mid AB^{\prime} \mid}{\mid AC^{\prime} \mid}=\frac{\mid AB \mid}{\mid AC \mid}$.
$\frac{\mid AB^{\prime} \mid}{\mid AC^{\prime} \mid}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$
$\frac{\mid AB \mid}{\mid AC \mid}=\frac{5}{8}$
Czyli:
$\frac{\mid AB^{\prime} \mid}{\mid AC^{\prime} \mid}=\frac{\mid AB \mid}{\mid AC \mid}$
Zatem proste $k$ i $l$ są względem siebie równoległe.
$\frac{\mid AB^{\prime} \mid}{\mid AC^{\prime} \mid}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$
$\frac{\mid AB \mid}{\mid AC \mid}=\frac{5}{8}$
Czyli:
$\frac{\mid AB^{\prime} \mid}{\mid AC^{\prime} \mid}=\frac{\mid AB \mid}{\mid AC \mid}$
Zatem proste $k$ i $l$ są względem siebie równoległe.
Przykład 2: Sprawdź, czy proste $k$ i $l$ są względem siebie równoległe.
Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa musimy sprawdzić, czy $\frac{\mid AB^{\prime} \mid}{\mid BB^{\prime} \mid}=\frac{\mid AC^{\prime} \mid}{\mid CC^{\prime} \mid}$.
$\frac{\mid AB^{\prime} \mid}{\mid BB^{\prime} \mid}=\frac{6}{2}=3$
$\frac{\mid AC^{\prime} \mid}{\mid CC^{\prime} \mid}=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$
$2\neq2\frac{1}{4}$
Zatem proste $k$ i $l$ nie są względem siebie równoległe.
$\frac{\mid AB^{\prime} \mid}{\mid BB^{\prime} \mid}=\frac{6}{2}=3$
$\frac{\mid AC^{\prime} \mid}{\mid CC^{\prime} \mid}=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$
$2\neq2\frac{1}{4}$
Zatem proste $k$ i $l$ nie są względem siebie równoległe.
22+
