W poprzednich częściach zajmowaliśmy się potęgowaniem i pierwiastkowaniem liczb.
Teraz, dzięki umiejętności zapisywania pierwiastka za pomocą potęgi, połączymy oba te działania.

W jaki sposób?

Na początku spójrz na przykład.
Weźmy liczbę $(\sqrt{16})^{2}$. Chcemy ją jakoś policzyć. Jak? Są na to 2 sposoby:

Sposób I.
Korzystając z własności pierwiastków:
$$(\sqrt{16})^{2}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{16} = \sqrt{16\cdot16} = \sqrt{256}= 16$$
Ten mechanizm był wytłumaczony tutaj i tutaj.
Sposób II.

Zamieniamy liczbę $\sqrt{16}$ na potęgę o wykładniku wymiernym, tzn.:

$$(\sqrt{16})^{2} = \left(16^{\frac{1}{2}}\right)^2=16^{\frac{1}{2}\cdot 2} = 16$$
Konstrukcja $(\sqrt{a})^{2}$ często pojawia się w różnych zadaniach, zapamiętaj więc, że $(\sqrt{a})^{2}=a$. Zachodzi to również dla wyższych pierwiastków i potęg, np. $(\sqrt[3]{a})^{3}=a$, $~(\sqrt[4]{a})^{4}=a$, należy pamiętać jednak o tym, żeby stopień pierwiastka był równy wykładnikowi potęgi.
Przykłady.
$$(4\sqrt{2})^{2}\stackrel{\text{I}}{=} (\sqrt{16\cdot2})^{2} = (\sqrt{32})^{2} = 32$$
$$(4\sqrt{2})^{2}= 4^{2}\cdot(\sqrt{2})^{2} \stackrel{\text{II}}{=} 16\cdot2 = 32$$
$$(\sqrt{7})^{3}\stackrel{\text{I}}{=} \sqrt{7\cdot7\cdot7} = \sqrt{7^{2}}\cdot\sqrt{7} = 7\sqrt{7}$$

Zadania

Zadanie 1.
Liczba $\sqrt[3]{3\sqrt{3}}$ jest równa
$$A. \sqrt[6]{3},~~B. \sqrt[4]{3},~~C. \sqrt[3]{3},~~ D. \sqrt{3}$$

Korzystając ze wzorów na działaniach na potęgach i pierwiastkach mamy:

$$\sqrt[3]{3\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3\cdot3^{\frac{1}{2}}}=\sqrt[3]{3^{1+\frac{1}{2}}}=\sqrt[3]{3^\frac{3}{2}}=\left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$$

Odpowiedź: D.

Zadanie 2.
Liczba $3^{\frac{8}{3}}\cdot\sqrt[3]{9^{2}}$ jest równa
$$A. 3^{3},~~B. 3^{\frac{32}{9}},~~C. 3^{4},~~ D. 3^{5}$$
$$3^{\frac{8}{3}}\cdot\sqrt[3]{9^{2}}=3^{\frac{8}{3}}\cdot\sqrt[3]{(3^{2})^{2}}=3^{\frac{8}{3}}\cdot\sqrt[3]{3^{4}}=3^{\frac{8}{3}}\cdot3^{\frac{4}{3}}=3^{\frac{8+4}{3}}=3^{\frac{12}{3}}=3^{4}$$

Odpowiedź: C.

Zadanie 3.
Liczba $7^{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[3]{7^{5}}$ jest równa
$$A. 7^{\frac{4}{5}},~~B. 7^{3},~~C. 7^{\frac{20}{9}},~~ D. 7^{2}$$
$$7^{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[3]{7^{5}}=7^{\frac{4}{3}}\cdot7^{\frac{5}{3}}=7^{\frac{4+5}{3}}=7^{\frac{9}{3}}=7^{3}$$

Odpowiedź: B.

Zadanie 4.
Oblicz:

$(\sqrt{2})^{2},~~(\sqrt{17})^{4},~~(\sqrt{15})^{2},~~(\sqrt[3]{4})^{3},~~(\sqrt{18})^{4},~~(\sqrt{9})^{5},~~(\sqrt[5]{32})^{3},~~(\sqrt[4]{16})^{5},~~(\sqrt{16})^{5}$

1. $$(\sqrt{2})^{2} = 2$$2. $$(\sqrt{17})^{4} = ({17}^\frac{1}{2})^{4}=17^{\frac{1}{2}\cdot4}= 17^{2} = 289$$ 3. $$(\sqrt{15})^{2} = 15$$ 4. $$(\sqrt[3]{4})^{3} = 4$$ 5. $$(\sqrt{18})^{4}=({18}^\frac{1}{2})^{4}= 18^{\frac{4}{2}} = 18^{2} = 324$$ 6.

$$(\sqrt{9})^{5} = \sqrt{9\cdot9\cdot9\cdot9\cdot9}=\sqrt{9\cdot9}\cdot\sqrt{9\cdot9}\cdot\sqrt{9} = 9\cdot9\cdot\sqrt{9} = 81\sqrt{9}$$

7. $$(\sqrt[5]{32})^{3} = (\sqrt[5]{2^{5}})^{3} = 2^{3} = 8$$ 8. $$(\sqrt[4]{16})^{5} = (\sqrt[4]{2^{4}})^{5} = 2^{5} = 32$$ 9. $$(\sqrt{16})^{5} = 4^{5} = 1024$$

0