Okrąg i koło

Wprowadzimy najpierw podstawowe definicje.

Okrąg o środku $S$ i promieniu długości $r$ $(r>0)$ jest to zbiór punktów płaszczyzny, których odległości od punktu $S$ są równe $r$.
Koło o środku $S$ i promieniu długości $r$ $(r>0)$ jest to zbiór punktów płaszczyzny, których odległości od punktu $S$ są mniejsze od $r$ lub równe $r$.

Cięciwa okręgu (koła) jest to odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu.

Średnica okręgu (koła) jest to każda cięciwa przechodząca przez środek okręgu (koła).

Promień okręgu (koła) jest to odcinek łączący środek okręgu z dowolnym jego punktem.

Pole i obwód koła – wzory

Pole koła o promieniu $r$ wynosi $P=\pi r^2$.
Obwód koła o promieniu $r$ wynosi $L=2\pi r$.

Przykład 1: Cięciwa okręgu ma długość 8 cm i jest oddalona od jego środka o 3 cm. Promień tego okręgu ma długość:
a) 3 cm
b) 4 cm
c) 5 cm
d) 8 cm
Rozwiązanie: Oznaczmy przez $r$ długość promienia okręgu.

Aby obliczyć długość promienia $r$ skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
$r^{2}=4^{2}+3^{2}$
$r^{2}=16+9$
$r^{2}=25$
$r=5$
Odpowiedź: c) 5 cm.
Przykład 2: Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o $30\%$. Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła
a) o mniej niż $50\%$, ale więcej niż $40\%$.
b) o mniej niż $60\%$ , ale więcej niż $50\%$.
c) dokładnie o $60\%$.
d) o więcej niż $60\%$.
Rozwiązanie: Oznaczmy przez $r$ długość promienia mniejszego koła, zaś przez $R$ długość promienia większego koła.
Z treści zadania wiemy, że długość promienia większego koła jest o $30\%$ większa od długości promienia mniejszego koła. Zatem
$R=130\%\cdot r=1,3r$
Pole mniejszego koła wynosi
$P_{r}=\pi r^{2}$
Pole większego koła wynosi
$P_{R}=\pi R^{2}$
Za $R$ podstawiamy $1,3r$
$P_{R}=\pi R^{2}=\pi (1,3r)^{2}=1,69\pi r^{2}$
Teraz policzymy stosunek pola większego koła do pola mniejszego koła i pomnożymy przez $100\%$:
$\frac{P_{R}}{P_{r}}\cdot 100\%=\frac{1,69\pi r^{2}}{\pi r^{2}}\cdot 100\%=169\%$
Zatem pole większego koła jest o $69\%$ większe od pola mniejszego koła.
Odpowiedź: d) o więcej niż $60\%$.

Pole wycinka i odcinka koła

Najpierw wyjaśnimy czy jest wycinek i odcinek koła.

Wycinek koła jest to część ograniczona łukiem i ramionami kąta środkowego.
Odcinek koła jest to część koła odcięta przez cięciwę wraz z tą cięciwą.
Uwaga: Każda cięciwa wyznacza dwa odcinki koła.

Pole wycinka koła wynosi $P_{wyc}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2$.

Uwaga: Jeżeli $\alpha$ jest miarą stopniową kąta wycinka to korzystamy z powyższego wzoru.

Pole odcinka koła obliczamy odejmując od pola wycinka pole trójkąta ABS:
$P_{odc}=P_{wyc}-P_{ABS}$
$P_{odc}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2-\frac{1}{2}\cdot r^2\cdot sin\alpha$

Przykłady

Przykład 3: Oblicz pole zacieniowanego obszaru w okręgu o danym promieniu $r$:
Rozwiązanie: Wiemy, że $r$ jest promieniem koła. Oznaczmy przez $\alpha$ miarę kąta wycinka koła.

Najpierw obliczymy miarę kąta $\alpha$, wiedząc, że suma miar kątów w trójkącie jest równa $180^\circ$.
$\alpha=180^\circ-2\cdot 30^\circ$
$\alpha=180^\circ-60^\circ$
$\alpha=120^\circ$
Teraz skorzystamy ze wzoru na pole wycinka koła:
$P_{wyc}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2$
$P_{wyc}=\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot \pi r^2$
$P_{wyc}=\frac{\pi r^2}{3}$
Odpowiedź: Pole zacieniowanego obszaru wynosi $\frac{\pi r^2}{3}$.
Przykład 4: Oblicz pole zacieniowanego obszaru wiedząc, że obwód koła wynosi $36\pi$ oraz długość łuku jest równa $12\pi$:
Rozwiązanie: Oznaczmy przez $\alpha$ miarę kąta wycinka koła, zaś przez $r$ promień koła.

Kąt $\alpha$ obliczymy korzystając z proporcji:
$\frac{12\pi}{36\pi}=\frac{\alpha}{360^\circ}$
$\frac{1}{3}=\frac{\alpha}{360^\circ}$
$3\alpha=360^\circ$
$\alpha=120^\circ$
Teraz korzystając ze wzoru na obwód koła obliczymy jego promień $r$:
$L=2\pi r$
$36\pi=2\pi r$
$r=18$
Następnie obliczamy pole wycinka koła:
$P_{wyc}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2$.
$P_{wyc}=\frac{120^\circ}{360^\circ}\cdot \pi \cdot18^2$.
$P_{wyc}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 324$.
$P_{wyc}=108\pi$.
Odpowiedź: Pole zacieniowanego obszaru wynosi $108\pi$.
Przykład 5: Oblicz pole zacieniowanego obszaru w okręgu o danym promieniu $r$, wiedząc, że $\alpha=30^\circ$:
Rozwiązanie: Wiemy, że $r$ jest promieniem koła oraz $\alpha=30^\circ$:

Najpierw obliczmy pole jednego z trzech wycinków koła:
$P_{wyc}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2$
$P_{wyc}=\frac{30^\circ}{360^\circ}\cdot \pi r^2$
$P_{wyc}=\frac{\pi r^2}{12}$
Aby otrzymać całkowite pole zacieniowanego obszaru pole wycinka mnożymy przez 3:
$P=3\cdot P_{wyc}$
$P=3\cdot \frac{\pi r^2}{12}$
$P=\frac{\pi r^2}{4}$
Odpowiedź: Pole zacieniowanego obszaru wynosi $\frac{\pi r^2}{4}$.
Przykład 6: W kole poprowadzono cięciwę o długości 6 odległą od środka koła o 3. Cięciwa ta podzieliła koło na dwie części. Oblicz pole mniejszej z tych części.
Rozwiązanie:
Najpierw z twierdzenia Pitagorasa obliczymy długość promienia $r$:
$r^2=3^2+3^2$
$r^2=9\cdot2$
$r=3\sqrt{2}$
Trójkąty APS i BPS są prostokątne i równoramienne, dlatego $\alpha=45^\circ$, czyli $2\alpha=90^\circ$.
Aby obliczyć pole zacieniowanego odcinka koła odejmujemy pole trójkąta ABS od pola wycinka:
$P_{odc}=P_{wyc}-P_{ABS}$
$P_{odc}=\frac{90^\circ}{360^\circ}\cdot \pi r^2-\frac{1}{2}\cdot r\cdot r$
$P_{odc}=\frac{\pi}{4}\cdot (3\sqrt{2})^2 -\frac{1}{2}\cdot (3\sqrt{2})^2$
$P_{odc}=\frac{\pi}{4}\cdot 9 \cdot 2 – \frac{1}{2}\cdot 9 \cdot 2$
$P_{odc}=\frac{9\pi}{2}-9$
$P_{odc}=9(\frac{\pi}{2}-1)$
Odpowiedź: Pole mniejszej z części wynosi $9(\frac{\pi}{2}-1)$.
0