Rozwiązania równań funkcji kwadratowej – wzór na deltę

Liczba rozwiązań zależy jej delty. Mając równanie kwadratowe dane wzorem $ax^2 + bx +c = 0$ wyróżnik delta to: $$\Large{\Delta = b^2 – 4ac}$$

Pierwiastki równania

1. Jeżeli $\Delta <0 $, to równanie nie ma rozwiązań. Inaczej: parabola nie przecina osi $OX$, czyli leży nad lub pod nią, np.

Parabola jest uśmiechnięta, bo a>0.
Parabola jest smutna, bo a<0.

 

2. Jeżeli $\Delta =0$, to równanie ma jedno rozwiązanie. Inaczej: parabola ma jeden punkt wspólny z osią $OX$, który jest jej wierzchołkiem, np.

Parabola jest uśmiechnięta, bo a>0.
Parabola jest smutna, bo a<0.

 

Równanie to jest postaci $$\Large{x_0 = \frac{-b}{2a}}$$

3. Jeżeli $\Delta > 0$, to równanie ma dwa rozwiązania. Inaczej: parabola przecina oś $OX$ dwukrotnie, np.

Parabola jest uśmiechnięta, bo a>0.
Parabola jest smutna, bo a<0.

Równania są postaci: $$\Large{x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}$$ oraz $$\Large{x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}$$

Uwaga: Zapamiętaj, że:

  • Równania kwadratowe mogą mieć dwa, jedna lub zero rozwiązań.
  • Aby wyznaczyć rozwiązanie równania kwadratowego trzeba znaleźć wszystkie $x$ – y, które po podstawieniu do równania będą je spełniały (nie będzie sprzeczności).
Uwaga: Niektóre równania szybciej rozwiążesz bez wyznaczania delty, pomocne okażą się wzory skróconego mnożenia.

Przykład 1) Rozwiąż równania:

a) $x^2-9 = 0$

b) $x^2+1=0$

a) Przenosimy liczbę na drugą stronę równania

$x^2 = 9$

Liczba jest dodatnia, pierwiastkujemy stronami otrzymując dwa rozwiązania

$x = \sqrt{9} \vee x=-\sqrt{9}$

$x = 3 \vee x=-3$

b) Zauważmy, że po przeniesieniu liczby na drugą stronę otrzymujemy $x^2 = -1$. Jest to równanie sprzeczne, bo dowolna liczba podniesiona kwadratu daje liczbę dodatnią.

Zatem równanie nie ma rozwiązań.

Przykład: Rozwiąż równania:

a) $6x-9 = x^2$

b) $4x-4x^2=1$

a) Przenosimy wszystkie dane na jedną stronę równania pamiętając o zmianie znaku

$6x – 9 = x^2$

$x^2 – 6x +9 = 0$

Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy ($(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$)

$(x-3)^2 = 0$

Pierwiastkując otrzymujemy

$x-3 = 0$

$x=3$

b) Postępujemy analogicznie

$4x – 4x^2=1$

$1-4x+4x^2=0$

Dla ułatwienia porządkujemy według wzoru ogólnego:

$4x^2-4x +1 = 0$

Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy

$(2x -1)^2 =0$

Pierwiastkując otrzymujemy

$2x-1=0$

Porządkujemy

$2x=1$

$x=\frac{1}{2}$

Uwaga: Możesz spotkać się z wymiennie stosowanymi wyrażeniami: pierwiastki równania kwadratowego, miejsca zerowe równania kwadratowego czy rozwiązania równania kwadratowego, które oznaczają to samo.

Przykład: Wyznacz pierwiastki równania kwadratowego

a) $x^2+2x+5 = 0$

b) $x^2 + \sqrt{2}x -4=0$

c) $2(x+1)^2 = 5(4-x)$

a) Współczynniki liczbowe równania to: $a=1$, $b=2$, $c=5$. Obliczamy deltę:

$\Delta = b^2 -4ac$

$\Delta = 2^2 -4 \cdot 1 \cdot 5$

$\Delta = 4 -20 = -16$

$\Delta <0$, czyli równanie nie ma rozwiązań (pierwiastków).

b) Współczynniki liczbowe to: $a=1$, $b=\sqrt{2}$, $c=-4$. Obliczamy deltę:

$\Delta = b^2 -4ac$

$\Delta = (\sqrt{2})^2 -4 \cdot 1 \cdot -4$

$\Delta = 2+16 = 18$

$\Delta >0$, więc wyznaczamy dwa pierwiastki tego równania.

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{18}$$ = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

$x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_1 = \frac{-\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

$x_1 = \frac{-4\sqrt{2}}{2}$$ = -2 \sqrt{2}$

$x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_2 = \frac{-\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

$x_2 = \frac{2\sqrt{2}}{2}$$= \sqrt{2}$

Odpowiedź: Równanie posiada dwa pierwiastki $x_1 = -2 \sqrt{2}$ i $x_2 = \sqrt{2}$.

c) Porządkujemy równanie

$2(x+1)^2 = 5(4-x)$

Stosujemy wzór skróconego mnożenia i opuszczamy nawias

$2(x^2 + 2x +1) =20 -5x$

$2x^2 +4x +2 = 20 -5x$

Przenosimy równanie na jedną stronę

$2x^2 +4x +2 -20 +5x = 0$

$2x^2 +9x -18 =0$

Współczynniki liczbowe to $a= 2$, $b=9$, $c=-18$. Obliczamy deltę:

$\Delta = b^2 -4ac$

$\Delta = 9^2 -4 \cdot 2 \cdot -18$

$\Delta = 81+144 = 225$

$\Delta >0$, więc wyznaczamy dwa pierwiastki tego równania.

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{225}$$ = 15$

$x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_1 = \frac{-9-15}{2 \cdot 2}$

$x_1 = \frac{-24}{4}$$ = -12$

$x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_2 = \frac{-9+15}{2 \cdot 2}$

$x_2 = \frac{-6}{4}$$= – \frac{3}{2}$

Odpowiedź: Równanie posiada dwa pierwiastki $x_1 =-12$ i $x_2 = – \frac{3}{2}$.

Uwaga:Mając dane równanie kwadratowe w postaci iloczynowej możemy szybciej wyznaczyć jego pierwiastki.

Przykład: Wyznacz pierwiastki równania $(2x+1)(5-2x)=0$

Po wymnożeniu nawiasów otrzymalibyśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej i licząc deltę wyznaczylibyśmy jego rozwiązania. Kiedy jednak mamy iloczyn nawiasów przyrównany do zera wiemy, że aby równość była spełniona, jeden z czynników (u nas nawiasów) musi być równy $0$, czyli

$2x+1 =0 \vee 5-2x=0$

$2x=-1 \vee 5= 2x$

$ x= -\frac{1}{2} \vee x= \frac{5}{2}$

Odpowiedź: Pierwiastkami tego równania są $x_1= -\frac{1}{2}$ i $x_2 = \frac{5}{2}$.

Przykład: Jednym z rozwiązań równania $x^2 -6x +c =0$ jest liczba $ 3-\sqrt{2}$. Wyznacz współczynnik $c$ i znajdź drugie rozwiązanie.

Wiemy, że miejsce zerowe to taki $x$, dla którego równanie przyjmuje wartość zero. Zatem wstawiając do równania $x= 3-\sqrt{2}$ wyliczamy $c$:

$(3-\sqrt{2})^2 -6(3-\sqrt{2}) +c = 0$

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia i opuszczamy nawias

$9 -6\sqrt{2} +2 -18 +6\sqrt{2} +c =0$

$9+2-18+c=0$

$-7+c=0$

$c=7$

Równanie ma postać $x^2-6x+7=0$. Współczynniki liczbowe to $a= 1$, $b=-6$, $c=7$. Obliczamy deltę:

$\Delta = b^2 -4ac$

$\Delta = (-6)^2 -4 \cdot 1 \cdot 7$

$\Delta = 36-28 = 8$

$\Delta >0$, więc wyznaczamy dwa pierwiastki tego równania.

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{8}$$ = \sqrt{4 \cdot 2}$$ =2 \sqrt{2} $

$x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_1 = \frac{-(-6)-2\sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

$x_1 = \frac{6-2\sqrt{2}}{2}$$ = 3-\sqrt{2}$

$x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

$x_2 = \frac{-(-6)+2\sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

$x_2 = \frac{6+2\sqrt{2}}{2}$$= 3+\sqrt{2}$

Odpowiedź: Współczynnik $c=7$, drugim rozwiązaniem równania jest $x_2 = 3+\sqrt{2}$.

0