Miara łukowa

Zapewne najczęściej spotykałeś/aś się z miarą kątów podawaną w stopniach. Miara łukowa, o której tu mowa, podawana jest w radianach. Jak wyznaczyć miarę łukową?

Rysujemy okrąg o promieniu $r$ i zaznaczamy kąt $α$ (wewnątrz okręgu).
Powstał łuk długości $l$.

Miara łukowa $α$ to stosunek długości $l$ wyciętego przez ten kąt do długości promienia $r$.

$$\Large{α = \frac {l}{r} rad}$$

 

Przykład: Oblicz miarę łukową kąta $α$, jeśli $r = 1 \frac12$, $l = \frac{π}{3}$

Wstawiając do wzoru $r = \frac {3}{2}$, $l = \frac{π}{3}$.

$α = \frac {l}{r}$$ = \frac {\frac{π}{3}}{\frac {3}{2}}$$ = \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{3}$$ = \frac {2}{9} π$

Odpowiedź: Miara łukowa kąta $α$ wynosi $\frac {2}{9} π$.

Uwaga: Mimo, że jednostką miary łukowej są radiany, często omija się wpisywanie jednostki (wiadomo, że chodzi o radiany).
Przykład: Oblicz miarę łukową kąta półpełnego $(180°)$.

Rysujemy okrąg o promieniu $r=1$ (jednostkowy) i zaznaczamy kąt półpełny.

Wstawiamy do wzoru:

$α = \frac {l}{r}$$ = \frac{\frac{180°}{360°} \cdot 2π \cdot r}{r}$$ = \frac{180°}{360°} \cdot 2π$$ = \frac{360°}{360°} \cdot π$$ = π$

Uwaga: Postępując analogicznie wyznaczamy miary kątów :

  • prostego $90° = \frac {π}{2}$
  • pełnego $360° = 2π$

Zamiana stopni na radiany

Musisz zapamiętać, że $360° = 2π$ (lub stąd $180° = π$)

Łatwo wyznaczysz miarę kąta stosując wzór $α (rad) = \frac {α(°) \cdot π}{180°} rad$ lub stosując proporcję.

Przykład: Zamień na radiany kąt o mierze $235°$.

Wstawiamy do wzoru:

$α (rad) = \frac {α(°) \cdot π}{180°} $$ = \frac {235° \cdot π}{180°} $$ = \frac{47}{36} π rad$

Przykład: Wyraź za pomocą radianów kąt o mierze $60°$.

Układamy proporcję:

$180° – π$

$60° – α$

$α = \frac{60° \cdot π}{180°}$$ = \frac {π}{3}$

Odpowiedź: Miara łukowa kąta kąta $60°$ wynosi $\frac{π}{3}$.

Zamiana radianów na stopnie

Przykład: Zamień kąt o mierze łukowej $α = \frac{2}{3} π$ na stopnie.

Przekształcamy wzór wyznaczając $α(°)$

$α (rad) = \frac {α(°) \cdot π}{180°} $

$α (°) = \frac {α(rad) \cdot 180°}{π} $

$α = \frac{ \frac{2}{3} π \cdot 180°}{π}$$ = \frac{2}{3} \cdot 180°$$ = 120°$

Odpowiedź: $α = \frac{2}{3} π = 120°$.

Przykład: Ile stopni ma jeden radian?

Układamy proporcję:

$180° – π$

$α$  – $1$

$α = \frac{180°}{π}$.

Odpowiedź: Jeden radian to $\frac{180°}{π}$.

0