Suma ciągu arytmetycznego (oznaczana $S_n$) jest to suma $n$ pierwszych wyrazów ciągu, np. $S_6$ to suma pierwszych sześciu wyrazów, czyli dla ciągu $1, 4, 7, 10, 13, 16,…$ $S_6$ jest równe $51$ $(1+4+7+10+13+16=51)$.

Aby obliczyć sumę $n$ pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego korzystamy z jednego z podanych wzorów:
$$\Large{S_n=\frac{{\color{blue}a_1}+{\color{blue}a_n}}2\cdot {\color{red}n}}$$
$$\Large{S_n=\frac{2{\color{blue}a_1}+({\color{red}n}-1)\cdot {\color{#339966}r}}2\cdot {\color{red}n}}$$
gdzie:
$a_1$ – pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego,
$a_n$ – $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego,
$r$ – różnica ciągu arytmetycznego,
$n$ – liczba wyrazów.

Korzystamy z jednego z powyższych wzorów, w zależności jakimi dysponujemy informacjami.

Przykład: Oblicz sumę 7 pierwszych wyrazów ciągu $a_n = 3 \cdot n – 1$.
Uwaga: Mając podany wzór ogólny ciągu najłatwiej będzie nam skorzystać z pierwszego, wyżej opisanego wzoru na sumę ciągu, obliczając potrzebne do wzoru dane (tutaj znajdziesz więcej informacji o wzorze ogólnym ciągu arytmetycznego). Gdybyśmy chcieli użyć drugiego wzoru to potrzebowalibyśmy $a_1$ i $r$ (a to wymagałoby odejmowania $a_2$ od $a_1$), czyli musielibyśmy więcej liczyć.

Krok 1: Obliczamy pierwszy wyraz ciągu $a_n$:
$a_1 = 3\cdot 1 – 1 = 2$
Krok 2: Wyrazem $a_n$ jest $a_7$, ponieważ szukamy $n = 7$ pierwszych wyrazów ciągu. Obliczamy $a_7$.
$a_7 = 3\cdot 7 -1 = 20$

Krok 3: Podstawiamy do wzoru na sumę, odpowiednie dane, czyli $n = 7, a_1 = 2, a_7 = 20$.$S_7=\frac{a_1+a_7}2\cdot 7 = \frac{2+20}2\cdot 7 = 77$


Odpowiedź: Suma 7 pierwszych wyrazów ciągu wynosi $S_7 = 77$.

Przykład: Oblicz sumę 12 pierwszych wyrazów ciągu $a_n$, jeżeli $a_{11} = 17,5$ oraz $a_{20} = 12$.

Rozwiązując to zadanie najpierw obliczamy różnicę. Między $11$ wyrazem a $20$ wyrazem jest $9$ różnic. Zapisujemy więc:

$\color{#339966}{r=\frac{a_{20}-a_{11}}9 = \frac{12 – 17,5}9 = -0,5}$

Pozostaje obliczyć $a_1$. W tym celu odejmiemy od $a_{11}$ tyle różnic, ile jest między wyrazem pierwszym a jedenastym, czyli $10$.

$a_1 = a_{11} – 10\cdot r = 17,5 – 10\cdot {(-0,5)} $$= 17,5 + 5 = 22,5$

Ponieważ obliczyliśmy $a_1$ i $r$ oraz mamy dane $n$ więc sumę obliczymy ze wzoru:

$S_n=\frac{2a_1+(n-1)\cdot r}2\cdot n$

Zatem:

$S_{12}=\frac{2\cdot {22,5}+(12-1)\cdot {(-0,5)}}2\cdot 12 = 237 $

Odpowiedź: Suma 12 pierwszych wyrazów ciągu $a_n$ wynosi $S_{12} = 237$.

Przykład: Suma $n$ wyrazów ciągu o $a_1 = -4$, $r = \frac52$ jest równa $310,5$. Oblicz $n$.

Wstawiając podane wartości do wzoru $S_n=\frac{2a_1+(n-1)\cdot r}2\cdot n$ uzyskamy równanie, z którego będziemy wyliczać $n$, która jest naszą jedyną niewiadomą:

$310,5 = \frac{2\cdot ( – 4 )+( n-1 )\cdot \frac52}2\cdot n\hspace{0,5cm}    |\cdot 2$

$621 = (( – 8 ) + (\frac {5 \cdot n}{2} – \frac52))\cdot n$

Upraszczając równanie do postaci kwadratowej otrzymujemy:

$5\cdot {n^2} – 21\cdot n – 1242 = 0$

$\Delta = 25281$

$\sqrt\Delta = 159$

$n_1 = \frac{21 + 159}{2\cdot 5} = 18$

$n_2 = \frac{21 – 159}{2\cdot 5} = – 13,8$ (odrzucamy, bo nie jest liczbą całkowitą)

Odpowiedź: $n = 18$.

0
Klaudia Mularczyk