Trapez dowolny

  • przynajmniej jedna para boków równoległa
  • boki stanowiące parę boków równoległych
    nazywamy podstawami, a pozostałe dwa ramionami
  • wysokość trapezu to odległość między podstawami
  • linia środkowa w trapezie jest równoległa do (obu)
    podstaw trapezu, a jej długość jest średnią
    arytmetyczną ich długości

$$P = \frac{(a+c) \cdot h}{2}$$ $$ Obw = a + b + c + d $$ $$ |MN| = \frac{a+c}{2} $$ $$ P = |MN| \cdot h$$

Wszystkie wyżej wymienione własności i wzory obowiązują także w trapezie równoramiennym i prostokątnym!

Trapez prostokątny

Jest to trapez, którego przynajmniej jedno ramię jest prostopadłe do podstaw.

Prostopadłe ramię jest jednocześnie wysokością. Co oznacza, że kwadrat i prostokąt są trapezami!

Trapez równoramienny

Jest to trapez, który posiada ramiona tej samej długości

Miara przeciwległych kątów wynosi 180$^\circ$. Poza tym przekątne trapezu równoramiennego są jednakowej długości.

Przykłady zadań

Przykład 1: Oblicz wysokość trapezu o podstawach długości 14cm i 21cm i ramionach długości 6cm i 8cm.

Narysujmy nasz trapez i zaznaczmy wszystkie dane, które są podane w zadaniu.

Zauważmy, że z trapezu żeby obliczyć wysokość musimy oprzeć się na dwóch powstałych trójkątach.
Istotnie, narysujmy sobie te dwa trójkąty osobno.

Z pierwszego trójkąta mamy
$$\color{green} {x^{2}} \color{#000000}{+} \color{#0099ff} {h^{2} }\color{black}= \color{#cc0066} {6^{2}}$$ $$\color{#0099ff} {h^{2}} \color{black}=\color{#cc0066}{ 36 } \color{black}- \color{green} {x^{2}} $$
z drugiego zaś
$$\color{red} {(7-x)^{2}} \color{black}+ \color{#0099ff} {h^{2}} \color{black}= \color{#996600} {8^{2}} $$ $$ \color{#0099ff} {h^{2}} \color{black}= \color{#996600} { 64 } \color{black} – \color{red} {(7-x)^{2}} $$

Przyrównajmy do siebie oba równania $h^{2}$, dostajemy:
$$ 36 – x^{2} = 64 -(7-x)^{2}$$ $$ (7-x)^{2} – x^{2} = 28$$ $$ 49-14x + x^{2} – x^{2} =28$$ $$ 14x=21$$ $$ x = \frac{3}{2} $$
Podstawmy teraz x pod równianie z h
$$ h^{2} = 36 – x^{2} = 36 – \frac{9}{4} = \frac{9}{4}\cdot 15 $$ $$ h = \frac{3}{2}\sqrt{15}$$
Odp: Wysokość jest długości $\bf {\frac{3}{2}\sqrt{15}}$cm.

Przykład 2: Oblicz pole trapezu równoramiennego, którego wysokość ma 5cm, a porzekątna 13cm..

Narysujmy nasz trapez i zaznaczmy wszystkie elementy podane w treści zadania.

Zauważmy, że nasze pole trapezu możemy zapisać w postaci
$P = \frac{2x+2y}{2} \cdot h $$= \frac{2(x+y)}{2}\cdot 5 $$= 5(x+y)$
W trójkącie ABC :

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa
$$ (\bf\color{green}x\color{black}+y )^{2} \color{black}+ \color{#0099ff} 5^{2} \color{black}= \color{#996600} 13^{2} $$ $$(x+y)^{2} = 169 -25$$ $$ (x+y)^{2} = 144 $$ $$ x+y=12$$
Podstawmy pod nasz wzór na pole
$$ P = 5(x+y) = 5 \cdot 12 = 60$$

Odp: Pole trapezu wynosi $\bf {60} cm^{2}$.

0