Trójkąt prostokątny

Najpierw wprowadzimy definicję trójkąta prostokątnego.

Trójkąt prostokątny jest to trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest kątem prostym.
Uwaga: Mówiąc przyprostokątna nie precyzujemy o którą z dwóch przyprostokątnych nam chodzi.

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa będziemy wykorzystywać do obliczania długości jednego boku trójkąta znając długości dwóch pozostałych boków. Możemy z niego korzystać tylko dla trójkątów prostokątnych.

Twierdzenie Pitagorasa
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych.
Przykład 1: W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 4 i 5. Znajdź przeciwprostokątną.
Rozwiązanie:

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
$5^2+4^2=x^2$
$x^2=25+16$
$x^2=41$
$x=\sqrt{41}$
Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{41}$.
Przykład 2: W trójkącie prostokątnym krótsza przyprostokątna ma długość 5, a przeciwprostokątna jest o 1 dłuższa niż dłuższa przyprostokątna. Znajdź długość boków tego trójkąta.
Rozwiązanie:

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
$x^2+5^2=(x+1)^2$
$x^2+25=x^2+2x+1$
$24=2x$
$x=12$
$x+1=13$
Odpowiedź: Długości boków wynoszą 5, 12 i 13.
Przykład 3: Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 30, a jego boki to: x, 17-x, 2x+3. Znajdź pole tego trójkąta.
Rozwiązanie:
Obliczmy x:
$30=x+17−x+2x+3$
$30=2x+20$
$2x=10$
$x=5$
Otrzymujemy, że miary boków są następujące: 5, 12, 13. Mamy, że
$5^2+12^2=13^2$
Zatem bok długości 13 jest przeciwprostokątną. Obliczmy pole trójkąta
$P=\frac{1}{2}\cdot5\cdot12=30$
Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi 30.
Przykład 3: Na symetralnej odcinka AB obrano punkt, który jest odległy od końców odcinka o 12 cm, a od środka odcinka o 6 cm. Oblicz długość odcinka AB.
Rozwiązanie:

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.
$a^2+6^2=12^2$
$a^2=144-36=108$
$a=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot3}=6\sqrt{3}$
Teraz policzymy długość odcinka AB.
$|AB|=2a=12\sqrt{3}$
Odpowiedź: Długość odcinka AB wynosi $12\sqrt{3}$ cm.
Przykład 4: Oblicz długości środkowych trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 6 cm i 8 cm.
Rozwiązanie:
Najpierw policzymy długość przeciwprostokątnej:
$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$

Na rysunku mamy zaznaczone środkowe trójkąta, które dzielą boki tego trójkąta na połowę. Środkowa jest to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Więcej o środkowej trójkąta napisaliśmy tutaj.
Po zaznaczeniu środkowych powstało więcej trójkątów prostokątnych, dzięki czemu dalej będziemy korzystać z twierdzenia Pitagorasa.
Policzymy teraz długości środkowych tego trójkąta:
$|BQ|^2=3^2+8^2=9+64=73$
$|BQ|=\sqrt{73}$
$|CT|^2=4^2+6^2=16+36=52$
$|CT|=\sqrt{52}=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}$
Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej, dlatego odcinki PA, PB, PC są promieniami tego okręgu. Stąd:
$|PA|=5$
Odpowiedź: Długości środkowych wynoszą $\sqrt{73}$ cm, $2\sqrt{13}$ cm oraz $5$ cm.
Uwaga: Istnieje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa, które mówi nam, że jeżeli kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych to trójkąt jest prostokątny.

Twierdzenie o wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego

Wprowadzimy teraz twierdzenie, które mówi nam o stosunku wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego do długości przeciwprostokątnej.

Twierdzenie
Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli dany trójkąt na dwa trójkąty podobne do niego: $\triangle{ABC}\sim\triangle{ABD}\sim\triangle{BCD}$, a ponadto $h^2=xy$.
Uwaga: Jest to bardzo prosty wzór, o którym często zapominamy, a dzięki niemu możemy znacznie skrócić rozwiązanie zadania.
Przykład 6: W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest podzielona przez wysokość w stosunku 1:3. Oblicz stosunek długości przyprostokątnych tego trójkąta.
Rozwiązanie:

Należy policzyć $\frac{a}{b}$.
Najpierw wyznaczymy h.
$h^2=x\cdot3x$
$h^2=3x^2$
$h=x\sqrt{3}$
Teraz wyznaczymy a i b.
$a^2=h^2+x^2=3x^2+x^2=4x^2$
$a=2x$
$b^2=h^2+(3x)^2=3x^2+9x^2=12x^2=3\cdot4x^2$
$b=2x\sqrt{3}$
Zatem otrzymujemy, że
$\frac{a}{b}=\frac{2x}{2x\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Odpowiedź: Stosunek długości przyprostokątnych tego trójkąta wynosi $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Przykład 7: W trójkącie prostokątnym wysokość o długości 4 cm dzieli przeciwprostokątną w stosunku 10:19 . Oblicz pole trójkąta.
Rozwiązanie:

Na podstawie twierdzenia o wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną trójkąta mamy:
$4^2=10x\cdot19x$
$16=190x^2$
$x^2=\frac{16}{190}$
$x=\frac{4}{\sqrt{190}}=\frac{4\sqrt{190}}{190}=\frac{2\sqrt{190}}{95}$
Obliczamy długość przeciwprostokątnej
$10x+19x=29x=29\cdot\frac{2\sqrt{190}}{95}=\frac{58\sqrt{190}}{95}$.
Teraz policzymy pole trójkąta.
$P=\frac{1}{2}\cdot29x\cdot4=2\cdot\frac{58\sqrt{190}}{95}=\frac{116\sqrt{190}}{95}$
Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi $\frac{116\sqrt{190}}{95}$.
0