Naszym celem będzie sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.
Polega ono na rozszerzeniu ułamków (mnożeniu licznika i mianownika przez tą samą liczbę) tak, aby w mianowniku uzyskać wspólną liczbę dla wszystkich ułamków.
To działanie jest niezbędne np. przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków.
Jak to zrobić?
Weźmy dwa ułamki $\frac{2}{4}$ i $\frac{1}{3}$.
Żeby znaleźć wspólny mianownik, to znajdujemy jego najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW), to znaczy:
- Wypisujemy po kolei wielokrotności danych liczb. Dla 4 i 3 mamy:
4 $\rightarrow$ 4,8,12,16,20,24,…
3 $\rightarrow$ 3,6,9,12,15,18,… - Wypisujemy te wielokrotności aż do momentu, jak pierwszy raz znajdziemy wielokrotność liczb 4 i 3. Jest to liczba 12.
- Zatem NWW(4,3) $=$ 12, czyli liczba 12 jest ich wspólnym mianownikiem.
Rozszerzamy więc nasze ułamki tak, aby w mianowniku pojawiła się 12, to znaczy: $$\frac{2}{4} = \frac{2}{4} \cdot \color{blue}{\frac{3}{3}} \color{black}{= \frac{2\cdot3}{4\cdot3}=\frac{6}{12}}$$ $$\frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cdot \color{blue}{\frac{4}{4}}\color{black}{ = \frac{1\cdot4}{3\cdot4}=\frac{4}{12}}$$Po tym procesie uzyskaliśmy wspólny mianownik. Jest to liczba 12.
Dodawanie ułamków zwykłych
Żeby wyjaśnić idee dodawania ułamków, to spójrz na powyższe przykłady.
Przykład 1.
Oblicz $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$.
Oblicz $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$.
Najpierw zaczynamy od sprowadzenia do wspólnego mianownika.
Z poprzedniej części wiemy, że wspólnym mianownikiem 3 i 4 jest liczba 12.
Zatem:
Z poprzedniej części wiemy, że wspólnym mianownikiem 3 i 4 jest liczba 12.
Zatem:
$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4}= \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$
Przykład 2.
Oblicz $1\frac{1}{5} + \frac{3}{5}$.
Oblicz $1\frac{1}{5} + \frac{3}{5}$.
Najpierw liczbę $1\frac{1}{5}$ zamieniamy na ułamek niewłaściwy, tj.:
$$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{5+1}{5} = \frac{6}{5}$$Teraz możemy wykonać działanie:$$\frac{6}{5} + \frac{3}{5} = \frac{9}{5}$$
$$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{5+1}{5} = \frac{6}{5}$$Teraz możemy wykonać działanie:$$\frac{6}{5} + \frac{3}{5} = \frac{9}{5}$$
Przykład 3.
Oblicz $2\frac{1}{4} + 2\frac{1}{6}$.
Oblicz $2\frac{1}{4} + 2\frac{1}{6}$.
Na początku zamieniamy liczby na ułamki niewłaściwe, czyli:$$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{8+1}{4} = \frac{9}{4}$$
$$2\frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{12+1}{6} = \frac{13}{6}$$Znajdujemy NWW(4,6), tzn. wypisujemy wielokrotności liczb 4 i 6:
4 $\rightarrow$ 4,8,12,16,20,24,…
6 $\rightarrow$ 6,12,18,24,30,…
Zatem NWW(4,6) $=$ 12.
Wobec tego:
$$2\frac{1}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{12+1}{6} = \frac{13}{6}$$Znajdujemy NWW(4,6), tzn. wypisujemy wielokrotności liczb 4 i 6:
4 $\rightarrow$ 4,8,12,16,20,24,…
6 $\rightarrow$ 6,12,18,24,30,…
Zatem NWW(4,6) $=$ 12.
Wobec tego:
$$\frac{9}{4} + \frac{13}{6} = \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{13 \cdot 2}{3 \cdot 4} = \frac{27}{12} + \frac{26}{12} = \frac{27+26}{12} = \frac{53}{12} = 4\frac{5}{12}$$
Odejmowanie ułamków zwykłych
Schemat odejmowania ułamków jest taki sam jak przy dodawaniu ułamków zwykłych.
Przykład 4.
Oblicz $\frac{3}{4} – \frac{1}{4}$.
Oblicz $\frac{3}{4} – \frac{1}{4}$.
$$\frac{3}{4} – \frac{1}{4} = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4}$$
Przykład 5.
Oblicz $\frac{1}{3} – \frac{1}{7}$.
Oblicz $\frac{1}{3} – \frac{1}{7}$.
Analogicznie jak w poprzednich przykładach, na początku sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, licząc NWW(3,7), które jest równe 21.
Zatem:
Zatem:
$$\frac{1}{3} – \frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7} – \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{7}{21} – \frac{3}{21} = \frac{4}{21}$$
Przykład 6.
Oblicz $2\frac{1}{3} – 1\frac{1}{9}$.
Oblicz $2\frac{1}{3} – 1\frac{1}{9}$.
Analogicznie jak w poprzednich przykładach, najpierw zamieniamy powyższe ułamki na ułamki niewłaściwe, tj.:
$$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{6+1}{3} = \frac{7}{3}$$ $$1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{3} = \frac{9+1}{9} = \frac{10}{9}$$Następnie sprowadzamy do wspólnego mianownika, licząc NWW(3,9). Tym razem
NWW(3,9) $=$ 9.
Wobec tego:
$$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{6+1}{3} = \frac{7}{3}$$ $$1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{3} = \frac{9+1}{9} = \frac{10}{9}$$Następnie sprowadzamy do wspólnego mianownika, licząc NWW(3,9). Tym razem
NWW(3,9) $=$ 9.
Wobec tego:
$$2\frac{1}{3} – 1\frac{1}{9} = \frac{7}{3} – \frac{10}{9} = \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 3} – \frac{10}{9} = \frac{21}{9} – \frac{10}{9} = \frac{21 – 10}{9} = \frac{11}{9}$$
Mnożenie ułamków zwykłych
Żeby łatwiej wytłumaczyć zasadę mnożenia ułamków zwykłych, to spójrz na ten przykład:
Przykład 7.
Oblicz $2 \cdot \frac{2}{5}$.
Oblicz $2 \cdot \frac{2}{5}$.
Korzystając z własności ułamka:
$$\frac{a \cdot b}{c \cdot d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d},\;\;\;\;gdzie: c, d \neq 0$$mamy:$$2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{4}{5}$$
$$\frac{a \cdot b}{c \cdot d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d},\;\;\;\;gdzie: c, d \neq 0$$mamy:$$2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{4}{5}$$
Wystarczy tylko pomnożyć liczniki i mianowniki obu ułamków.
Nie trzeba ich nawet sprowadzać do wspólnego mianownika.
Nie trzeba ich nawet sprowadzać do wspólnego mianownika.
Przykład 8.
Oblicz $2\frac{3}{4} \cdot 3\frac{2}{5}$.
Oblicz $2\frac{3}{4} \cdot 3\frac{2}{5}$.
Analogiczne jak w przykładzie 7, mamy:
$$2\frac{3}{4} \cdot 3\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 4 + 3}{4} \cdot \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{11}{4} \cdot \frac{17}{5} = \frac{11 \cdot 17}{4 \cdot 5} = \frac{187}{20} = 9\frac{7}{20}$$
Dzielenie ułamków zwykłych
Żeby podzielić dwa ułamki zwykłe, to pierwszy ułamek mnożymy przez odwrotność drugiego ułamka.
Przykład 9.
Oblicz $\frac{1}{2} \div \frac{2}{3}$.
Oblicz $\frac{1}{2} \div \frac{2}{3}$.
Pierwszy ułamek pozostaje bez zmian, drugi ułamek „odwracamy”, to znaczy: zamieniamy miejscami licznik z mianownikiem, czyli:
Teraz możemy obie liczby pomnożyć.
Zatem:$$\frac{1}{2} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$$
Teraz możemy obie liczby pomnożyć.
Zatem:$$\frac{1}{2} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$$
Przykład 10.
Oblicz $3 \div \frac{1}{2}$.
Oblicz $3 \div \frac{1}{2}$.
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, liczbę 3 zostawiamy.
Odwrotnością ułamka $\frac{1}{2}$ jest liczba $\frac{2}{1}$ czyli 2.
Zatem:
Odwrotnością ułamka $\frac{1}{2}$ jest liczba $\frac{2}{1}$ czyli 2.
Zatem:
$$3 \div \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{2}{1} = \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{1} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 1} = \frac{6}{1} = 6$$
Przykład 11.
Oblicz $2\frac{2}{3} \div 3\frac{1}{4}$.
Oblicz $2\frac{2}{3} \div 3\frac{1}{4}$.
Wcześniej przy dzieleniu ułamków zamienialiśmy ułamki mieszane na ułamki niewłaściwe, tzn.:$$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{6+2}{3} = \frac{8}{3}$$ $$3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{12+1}{4} = \frac{13}{4}$$Liczbę $\frac{8}{3}$ zostawiamy bez zmian, natomiast liczba $\frac{13}{4}$ jest w postaci $\frac{4}{13}$.
Zatem:
Zatem:
$$2\frac{2}{3} \div 3\frac{1}{4} = \frac{8}{3} \div \frac{13}{4} = \frac{8}{3} \cdot \frac{4}{13} = \frac{8 \cdot 4}{3 \cdot 13} = \frac{32}{39}$$
11+
