Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka jest jedną z najważniejszych operacji na pierwiastkach. Jest ona często wykorzystywana do działań na pierwiastkach. Inaczej na „wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka” możemy powiedzieć „wyciąganie/wyłączanie spod pierwiastka”.
Algorytm działania
Wyłączając czynnik przed znak pierwiastka możemy zastosować jedną z metod podanych poniżej. Pierwszy sposób jest bardzo podstawowy i uniwersalny, drugi natomiast jest szybszy, ale wymaga większej wprawy. Jeśli ten temat jest dla Ciebie nowy – zacznij od sposobu 1.
- sposób.
Najpierw rozkładamy liczbę na czynniki pierwsze, tzn. na iloczyn liczb pierwszych – dzielimy liczbę przez najmniejszy możliwy dzielnik aż do uzyskania liczby 1. Można zastosować metodę „kreski” (pokazana w Przykładach). Potem porządkujemy czynniki aż do uzyskania par (trójek – w przypadku pierwiastka trzeciego stopnia, czwórek – czwartego, itd.), które będziemy wyłączyć przed znak pierwiastka, np.$$ \sqrt{72}=\sqrt{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3}=\underbrace{\sqrt{2\cdot2}}_{\sqrt{4}=2}\cdot\sqrt{2}\cdot\underbrace{\sqrt{3\cdot3}}_{\sqrt{9}=3}=2\cdot3\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}$$ - sposób.
Nie musimy rozkładać liczby na czynniki pierwsze, wystarczy, że będziemy szukać w jej rozkładzie liczb, które przed pierwiastek da się wyciągnąć, czyli w przypadku pierwiastka kwadratowego: $4, 9, 16, 25, 36,…$, tj. szukamy kwadratów liczb naturalnych. W przypadku pierwiastka sześciennego będą to$8=(2^3),~27=(3^3),~64=(4^3),~125=(5^3),…$ itd.
Przykłady
Wyłączmy czynnik przed znak pierwiastka dla $\sqrt{180}$.
- sposób.
Rozkładamy liczbę 180 na czynniki pierwsze (metoda „kreski”)
$${180|2\\
~~90|2\\
~~45|3\\
~~15|3\\
~~~~5|5\\
~~~~1|\\}$$Przekształcamy liczbę 180 pod pierwiastkiem, czyli:$$\sqrt{180} = \sqrt{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5} =\underbrace{\sqrt{2\cdot2}}_{\sqrt{4}=2}\cdot\underbrace{\sqrt{3\cdot3}}_{\sqrt{9}=3} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} = 6 \cdot \sqrt{5}$$ - sposób.
Szukamy w rozkładzie $180$ jak największego kwadratu liczby naturalnej (np. $4, 9, 16, 25, 36,..$). Dość łatwo zauważyć (lub sprawdzić na kalkulatorze 😉 ), że $180=36\cdot5$. Mamy zatem: $$\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{5} = 6 \cdot \sqrt{5}$$
Z obu metod uzyskaliśmy, że $\sqrt{180}=6\sqrt{5}$.
Aby sprawdzić wynik, to:
- Liczbę przed pierwiastkiem podnosimy do potęgi stopnia pierwiastka i „włączamy” czynnik pod znak pierwiastka.
- Mnożymy przez liczbę, która już znajdowała się pod pierwiastkiem.
W tym przypadku mamy $$6\cdot \sqrt{5} = \sqrt{6^{2}\cdot 5} = \sqrt{36\cdot5} = \sqrt{180}$$
Zrobimy teraz przykład na wyłączanie liczby przed znak pierwiastka stopnia trzeciego.
Wyciągnijmy spod pierwiastka liczbę $\sqrt[3]{80}$.
- sposób.
Rozkładamy liczbę 80 na czynniki pierwsze (metoda „kreski”)
$${80|2\\
40|2\\
20|2\\
10|2\\
~~5|5\\
~~1|\\}$$Przekształcamy liczbę 80 pod pierwiastkiem, czyli:$$\sqrt[3]{80} = \sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot5} =\underbrace{\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2}}_{\sqrt[3]{8}=2} \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} = 2 \cdot \sqrt[3]{2\cdot5} = 2 \cdot \sqrt[3]{10}$$ - sposób.
Szukamy w rozkładzie $80$ jak największego sześcianu liczby naturalnej (np. $8, 27, 64, 125, 216,..$). Zauważmy, że $80=8\cdot10$. Mamy zatem: $$\sqrt[3]{80} = \sqrt[3]{8 \cdot 10} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{10} = 2 \cdot \sqrt[3]{10}$$
- Z obu metod uzyskaliśmy, że $\sqrt[3]{80}=2\sqrt[3]{10}$.
Sprawdźmy powyższy wynik, tzn.: $$2\cdot \sqrt[3]{10} = \sqrt[3]{2^{3}\cdot 10} = \sqrt[3]{8\cdot10} = \sqrt[3]{80}$$
Zadania
Wyciągnij liczbę spod pierwiastka.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Włącz czynnik pod znak pierwiastka
1. $$2\sqrt{5}=\sqrt{2^{2}\cdot5} = \sqrt{4\cdot5} = \sqrt{20}$$ 2.
3.
4. $$4\sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{4^{4}\cdot2} = \sqrt[4]{256\cdot2} = \sqrt[4]{512}$$ 5.
6.
7.
Liczba $\frac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$ jest równa
$$A. 2\sqrt{2},~~B. 2,~~C.4,~~ D. \sqrt{10}-\sqrt{6}$$
Skorzystamy ze sposobu $2^{\circ}$, tzn.:
Odpowiedź: B
Liczbę $\sqrt{32}$ można przedstawić w postaci
$$A. 8\sqrt{2},~~B. 12\sqrt{3},~~C.4\sqrt{8},~~ D. 4\sqrt{2}$$
Odpowiedź: D