Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka jest jedną z najważniejszych operacji na pierwiastkach. Jest ona często wykorzystywana do działań na pierwiastkach. Inaczej na „wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka” możemy powiedzieć „wyciąganie/wyłączanie spod pierwiastka”.

Algorytm działania

Wyłączając czynnik przed znak pierwiastka możemy zastosować jedną z metod podanych poniżej. Pierwszy sposób jest bardzo podstawowy i uniwersalny, drugi natomiast jest szybszy, ale wymaga większej wprawy. Jeśli ten temat jest dla Ciebie nowy – zacznij od sposobu 1.

  1. sposób.
    Najpierw rozkładamy liczbę na czynniki pierwsze, tzn. na iloczyn liczb pierwszych – dzielimy liczbę przez najmniejszy możliwy dzielnik aż do uzyskania liczby 1. Można zastosować metodę „kreski” (pokazana w Przykładach). Potem porządkujemy czynniki aż do uzyskania par (trójek – w przypadku pierwiastka trzeciego stopnia, czwórek – czwartego, itd.), które będziemy wyłączyć przed znak pierwiastka, np.

    $$ \sqrt{72}=\sqrt{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3}=\underbrace{\sqrt{2\cdot2}}_{\sqrt{4}=2}\cdot\sqrt{2}\cdot\underbrace{\sqrt{3\cdot3}}_{\sqrt{9}=3}=2\cdot3\cdot\sqrt{2}=6\sqrt{2}$$
  2. sposób.
    Nie musimy rozkładać liczby na czynniki pierwsze, wystarczy, że będziemy szukać w jej rozkładzie liczb, które przed pierwiastek da się wyciągnąć, czyli w przypadku pierwiastka kwadratowego: $4, 9, 16, 25, 36,…$, tj. szukamy kwadratów liczb naturalnych. W przypadku pierwiastka sześciennego będą to

    $8=(2^3),~27=(3^3),~64=(4^3),~125=(5^3),…$ itd.

Przykłady

Wyłączmy czynnik przed znak pierwiastka dla $\sqrt{180}$.

  1. sposób.
    Rozkładamy liczbę 180 na czynniki pierwsze (metoda „kreski”)
    $${180|2\\
    ~~90|2\\
    ~~45|3\\
    ~~15|3\\
    ~~~~5|5\\
    ~~~~1|\\}$$Przekształcamy liczbę 180 pod pierwiastkiem, czyli:

    $$\sqrt{180} = \sqrt{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5} =\underbrace{\sqrt{2\cdot2}}_{\sqrt{4}=2}\cdot\underbrace{\sqrt{3\cdot3}}_{\sqrt{9}=3} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} = 6 \cdot \sqrt{5}$$
  2. sposób.
    Szukamy w rozkładzie $180$ jak największego kwadratu liczby naturalnej (np. $4, 9, 16, 25, 36,..$). Dość łatwo zauważyć (lub sprawdzić na kalkulatorze 😉 ), że $180=36\cdot5$. Mamy zatem: $$\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{5} = 6 \cdot \sqrt{5}$$

Z obu metod uzyskaliśmy, że $\sqrt{180}=6\sqrt{5}$.

Aby sprawdzić wynik, to:

  1. Liczbę przed pierwiastkiem podnosimy do potęgi stopnia pierwiastka i „włączamy” czynnik pod znak pierwiastka.
  2. Mnożymy przez liczbę, która już znajdowała się pod pierwiastkiem.

W tym przypadku mamy $$6\cdot \sqrt{5} = \sqrt{6^{2}\cdot 5} = \sqrt{36\cdot5} = \sqrt{180}$$
Zrobimy teraz przykład na wyłączanie liczby przed znak pierwiastka stopnia trzeciego.

Wyciągnijmy spod pierwiastka liczbę $\sqrt[3]{80}$.

  1. sposób.
    Rozkładamy liczbę 80 na czynniki pierwsze (metoda „kreski”)
    $${80|2\\
    40|2\\
    20|2\\
    10|2\\
    ~~5|5\\
    ~~1|\\}$$Przekształcamy liczbę 80 pod pierwiastkiem, czyli:

    $$\sqrt[3]{80} = \sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot5} =\underbrace{\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2}}_{\sqrt[3]{8}=2} \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} = 2 \cdot \sqrt[3]{2\cdot5} =  2 \cdot \sqrt[3]{10}$$
  2. sposób.
    Szukamy w rozkładzie $80$ jak największego sześcianu liczby naturalnej (np. $8, 27, 64, 125, 216,..$). Zauważmy, że $80=8\cdot10$. Mamy zatem: $$\sqrt[3]{80} = \sqrt[3]{8 \cdot 10} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{10} = 2 \cdot \sqrt[3]{10}$$
  1. Z obu metod uzyskaliśmy, że $\sqrt[3]{80}=2\sqrt[3]{10}$.

Sprawdźmy powyższy wynik, tzn.: $$2\cdot \sqrt[3]{10} = \sqrt[3]{2^{3}\cdot 10} = \sqrt[3]{8\cdot10} = \sqrt[3]{80}$$

Dla pierwiastków wyższego stopnia schemat jest taki sam.

Zadania

Zadanie 1.
Wyciągnij liczbę spod pierwiastka.

$\sqrt{20},~\sqrt{74},~\sqrt{2286},~\sqrt[3]{144},~\sqrt[4]{80},~\sqrt{12},~\sqrt{1260},~\sqrt[5]{96}$
W tym zadaniu skorzystamy ze sposobu pierwszego, tzn.:
1.

$$\sqrt{20}=\sqrt{2\cdot2\cdot5} = \underbrace{\sqrt{2\cdot2}}_{\sqrt{4} = 2} \cdot \sqrt{5} = 2 \sqrt{5}$$

2.

$$\sqrt{2286}=\sqrt{127\cdot3\cdot3\cdot2} = \sqrt{127}\cdot \underbrace{\sqrt{3\cdot3}}_{\sqrt{9}=3} \cdot \sqrt{2} = 3\cdot \sqrt{127} \cdot \sqrt{2}= 3\cdot\sqrt{127\cdot2}=3\sqrt{254}$$

3.

$$\sqrt[3]{144} = \sqrt[3]{3\cdot3\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2} = \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \underbrace{\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2}}_{\sqrt[3]{8}=2} \cdot \sqrt[3]{2}= 2\cdot \sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2}=$$ $$= 2\cdot \sqrt[3]{3\cdot3\cdot2} = 2\sqrt[3]{18}$$

4.

$$\sqrt[4]{80}=\sqrt[4]{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot5} = \underbrace{\sqrt[4]{2\cdot2\cdot2\cdot2}}_{\sqrt[4]{16}=2} \cdot \sqrt[4]{5} = 2\sqrt[4]{5}$$

5.

$$\sqrt{12}=\sqrt{2\cdot2\cdot3}=\underbrace{\sqrt{2\cdot2}}_{\sqrt{4} = 2} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$

6.

$$\sqrt{1260} = \sqrt{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7}=\underbrace{\sqrt{2\cdot2}}_{\sqrt{4}=2}\cdot\underbrace{\sqrt{3\cdot3}}_{\sqrt{9}=3}\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{7}=2\cdot3\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{7}=$$ $$= 6\cdot\sqrt{5\cdot7} = 6\sqrt{35}$$

7.

$$\sqrt[5]{96} = \sqrt[5]{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3}=\underbrace{\sqrt[5]{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}}_{\sqrt[5]{32}=2}\cdot\sqrt[5]{3}=2\sqrt[5]{3}$$
Zadanie 2.
Włącz czynnik pod znak pierwiastka

$2\sqrt{5},~10\sqrt[3]{2},~17\sqrt{2},~\sqrt[4]{2},~5\sqrt[5]{3},~10\sqrt{17},~8\sqrt[4]{10}$

1. $$2\sqrt{5}=\sqrt{2^{2}\cdot5} = \sqrt{4\cdot5} = \sqrt{20}$$ 2.

$$10\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{10^{3}\cdot2} = \sqrt[3]{1000\cdot2}=\sqrt[3]{2000}$$

3.

$$17\sqrt{2} = \sqrt{17^{2}\cdot2}=\sqrt{289\cdot2} = \sqrt{578}$$

4. $$4\sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{4^{4}\cdot2} = \sqrt[4]{256\cdot2} = \sqrt[4]{512}$$ 5.

$$5\sqrt[5]{3} = \sqrt[5]{5^{5}\cdot3} = \sqrt[5]{3125\cdot3}=\sqrt[5]{9375}$$

6.

$$10\sqrt{17} = \sqrt{10^{2}\cdot17} = \sqrt{100\cdot17} = \sqrt{1700}$$

7.

$$8\sqrt[4]{10}=\sqrt[4]{8^{4}\cdot10} = \sqrt[4]{4096\cdot10} = \sqrt[4]{40960}$$
Zadanie 3. (MATURA – maj 2013)
Liczba $\frac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$ jest równa
$$A. 2\sqrt{2},~~B. 2,~~C.4,~~ D. \sqrt{10}-\sqrt{6}$$

Skorzystamy ze sposobu $2^{\circ}$, tzn.:

$$\frac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2\cdot25}-\sqrt{2\cdot9}}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$$

Odpowiedź: B

Zadanie 4. (marzec 2012)
Liczbę $\sqrt{32}$ można przedstawić w postaci
$$A. 8\sqrt{2},~~B. 12\sqrt{3},~~C.4\sqrt{8},~~ D. 4\sqrt{2}$$
Skorzystamy ze sposobu $2^{\circ}$, tzn.: $$\sqrt{32}=\sqrt{2\cdot 16} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$
Odpowiedź: D
0