Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Jej kształt i umiejscowienie w układzie współrzędnych zależą od wzoru funkcji.

Schemat rysowania wykresu

Przedstawimy teraz schemat rysowania wykresu funkcji kwadratowej $f(x)=ax^2+bx+c$.

Krok 1:

Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli. Korzystamy ze wzorów:

$p=\frac{-b}{2a}$, $q=\frac{-\Delta}{4a}$ (lub $q=f(p)$)

Wierzchołek paraboli $W=(p, q)$.

Krok 2:

Liczymy miejsca zerowe funkcji, o ile istnieją. Korzystamy ze wzorów:

$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$, $x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$.

Jeśli $\Delta<0$, nie ma miejsc zerowych.

Krok 3:

Wyznaczamy punkt przecięcia z osią $OY$. Punkt ten ma współrzędne $(0, c)$, ponieważ na osi $OY$ współrzędna $x$ jest równa $0$, a gdy podstawimy $x=0$ do wzoru funkcji to otrzymamy $f(0)=a\cdot0^2+b\cdot0+c=0+0+c=c$.

Krok 4:

Jeśli chcemy narysować dokładniejszy wykres to możemy policzyć dodatkowo wartości funkcji w okolicy wierzchołka. To znaczy np w punktach o jedną lub dwie jednostki na lewo lub prawo od wierzchołka.

Krok 5:

Obliczone w kolejnych krokach punkty zaznaczamy w układzie współrzędnych i rysujemy parabolę przechodzącą przez te punkty.

Uwaga: Krok 4 nie zawsze będzie potrzebny, ale w przypadku niektórych funkcji kroki 1., 2. i 3. mogą dać nam zbyt mało punktów, żeby narysować wykres. Wtedy musimy policzyć dodatkowe punkty.

Przykłady

Przykład 1: Narysujemy wykres funkcji określonej wzorem $f(x)=-x^2+2x+3$.

Krok 1: Wyznaczamy wierzchołek paraboli. $W=(p, q)$

$\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot(-1)\cdot3=4+12=16$

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{-2}=1$

$q=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-16}{-4}=4$

$W=(p, q)$

Krok 2: Liczymy miejsca zerowe. Ponieważ $\Delta>0$ (co policzyliśmy w poprzednim kroku), to funkcja ma dwa miejsca zerowe.

$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-2-\sqrt{16}}{-2}=\frac{-2-4}{-2}=\frac{-6}{-2}=3$

$x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-2+\sqrt{16}}{-2}=\frac{-2+4}{-2}=\frac{2}{-2}=-1$

Krok 3: Wyznaczamy punkt przecięcia z osią $OY$. Ten punkt ma współrzędne $(0, c)$, czyli w tym przypadku $(0, 3)$.

Krok 4: Mamy dużo informacji z poprzednich kroków, więc moglibyśmy pominąć ten krok, ale policzymy jeszcze wartości w pobliżu wierzchołka, żeby otrzymać ładniejszy wykres.

Skoro wierzchołek ma pierwszą współrzędną $p=1$, to policzmy wartości funkcji dla $x=0, x=2$ (oddalone o $1$ od wierzchołka) oraz dla $x=-1, x=3$ (oddalone o $2$ od wierzchołka) oraz dla $x=-2, x=4$ (oddalone o 3 od wierzchołka).

$f(0)=-0^2+2\cdot0+3=3$ Zatem do wykresu należy punkt $(0, 3)$ (ten punkt już tak naprawdę mieliśmy, to jest punkt przecięcia z osią $OY$).

$f(2)=-2^2+2\cdot2+3=3$ Zatem do wykresu należy punkt $(2, 3)$.

$f(-1)=-(-1)^2+2\cdot(-1)+3=0$ Zatem do wykresu należy punkt $(-1, 0)$ (ten punkt też już mieliśmy, to jest miejsce zerowe $x_2$).

$f(3)=-3^2+2\cdot3+3=0$ (Otrzymaliśmy drugie miejsce zerowe x_1$.)

$f(-2)=-(-2)^2+2\cdot(-2)+3=-5$ Otrzymaliśmy punkt $(-2, -5)$.

$f(4)=44^2+4\cdot4+3=-5$.

Krok 5: Teraz zaznaczamy wszystko na wykresie i rysujemy parabolę, czyli nasz wykres.

Uwaga: Parabola jest kształtem symetrycznym. Jest symetryczna względem prostej pionowej przechodzącej przez wierzchołek, czyli prostej o równaniu $x=p$. Więc jeśli policzymy wartość w punkcie oddalonym na przykład o $1$ w lewo od wierzchołka, to wartość w punkcie o $1$ na prawo od wierzchołka mamy za darmo, bo jest dokładnie taka sama. Nie musimy jej liczyć ze wzoru. Porównaj, że w kroku 4. w przykładzie 1. te wartości wychodziły takie same.
Przykład: Narysujemy wykres funkcji $f(x)=x^2+2$.

Krok 1: Wyznaczamy wierzchołek.

$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-0}2=0$

$q=f(p)=0^2+2=2$

$W=(0, 2)$

Krok 2: Liczymy miejsca zerowe.

$\Delta=b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot2=-8<0$.

Skoro $\Delta<0$ to nie ma miejsc zerowych.

Krok 3: Punktem przecięcia paraboli z osią $OY$ jest punkt $(0, c)$ czyli punkt $(0, 2)$.

Krok 4: Zauważmy, że z kroku 2. nie mamy żadnych punktów do zaznaczenia na wykresie. A to, co otrzymaliśmy w kroku 3. pokrywa się z krokiem 1.. W takiej sytuacji musimy policzyć dodatkowe wartości w okolicy wierzchołka $p=0$.

Na podstawie poprzedniej uwagi możemy policzyć wartości tylko z jednej strony wierzchołka (policzymy wartości po prawo od wierzchołka), a odpowiednie wartości po drugiej (lewej) stronie będę im równe.

$f(1)=1^2+2=3$, zatem $f(-1)=3$. Otrzymaliśmy punkty $(1, 3)$ i $(-1, 3)$.

$f(2)=2^2+2=6$, zatem $f(-2)=6$. Otrzymaliśmy punkty $(2, 6)$ i $(-2, 6)$.

Krok 5: Zaznaczamy policzone punkty na wykresie i rysujemy parabolę.

Uwaga: Gdy wzór funkcji jest podany w postaci kanonicznej $f(x)=a(x-p)^2+q$ to od razu możemy odczytać współrzędne wierzchołka paraboli $W=(p, q)$.

A gdy wzór jest w postaci iloczynowej $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ to od razu możemy odczytać miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$.

Warto zauważyć, że kształt paraboli zależy od współczynnika $a$ we wzorze funkcji. Jeśli $a<0$ to parabola jest smutna (ramiona ma skierowane w dół), a jeśli $a>0$ to jest uśmiechnięta (ramiona skierowane w górę). Stromość lub rozłożystość też zależy od $a$. Jeśli $a$ jest duże, to parabola jest stroma. Jeśli $a$ jest bliskie zeru, ułamkowe to parabola staje się bardziej płaska.

Uwaga: Z wykresu funkcji łatwo odczytać własności tej funkcji takie jak zbiór wartości, monotoniczność i inne.

Trudniejsze przykłady

Przyjrzymy się teraz bardziej skomplikowanym przykładom. Nie będą one polegały tylko na narysowaniu wykresu.

Przykład: Ile punktów wspólnych ma wykres funkcji kwadratowej $f(x)=\frac12x^2+3x+4$ z prostymi $y=2$, $y=-1$, $y=-\frac12$.

Aby zobaczyć ile punktów wspólnych ma parabola z jakąś prostą dobrze byłoby narysować tę parabolę. Liczymy według naszych kroków standardowe punkty

$W=(-3, -\frac12)$

$x_1=-4$

$x_2=-2$

Punkt przecięcia z osią $OY$ to $(0, 4)$.

Rysujemy wykres i zaznaczamy w tym samym

układzie współrzędnych interesujące nas proste.

Widzimy, że z prostą $y=2$ parabola ma $2$ punkty wspólne, z prostą $y=-1$ ma $0$ punktów wspólnych, a z prostą $y=-\frac12$ jeden punkt wspólny, bo ta prosta jest dokładnie na wysokości wierzchołka.

Uwaga: To zadanie można też rozwiązać analitycznie zamiast graficznie. Wystarczy przyrównać wzór paraboli do wzoru prostej i rozwiązać równanie. W przypadku prostej $y=2$ wygląda to tak:

$\frac12x^2+3x+4=2$

$\frac12x^2+3x+2=0$

$\Delta=3^2-4\cdot\frac12\cdot2=9-4=5$

$\Delta>0$, więc równanie ma dwa rozwiązania, czyli są dwa punkty wspólne wykresu funkcji i prostej $y=2$. Podobnie pozostałe przypadki.

Przykład: Dla jakich wartości parametru $m$ parabola o równaniu $y=x^2+6x+5$ ma dwa punkty wspólne z prostą o równaniu $y=2m$?

Podobnie jak w poprzednim przykładzie dobrym pomysłem wydaje się narysowanie paraboli. Wystarczy, że policzymy wierzchołek i narysujemy parabolę uśmiechniętą. W tym zadaniu nie zależy nam bardzo na dokładności rysunku, więc nie musimy liczyć dodatkowych punktów.

$W=(-3, -4)$

Nasz rysunek powinien wyglądać mniej więcej tak:

Prosta $y=2m$ jest prostą (stałą) równoległą do osi $OX$, ponieważ w jej wzorze nie ma żadnego $x$. Wysokość na której się znajduje zależy od wartości $m$. Nam zależy żeby ona przecięła się dwa razy z parabolą, więc musi być powyżej wierzchołka paraboli.

Zatem $2m>-4$ czyli $m>-2$.

Otrzymaliśmy odpowiedź, że dla $m>-2$ parabola ma dwa punkty wspólne z prostą.

Uwaga: To zadanie można było rozwiązać analitycznie w podobny sposób jak poprzednie. Przyrównujemy wzór paraboli ze wzorem prostej i otrzymujemy równanie z niewiadomą $x$. Literki $m$ nie należy się bać, jest ona parametrem i traktujemy ją na razie jak jakąś liczbę.

$x^2+6x+5=2m$

$x^2+6x+5-2m$

$\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot(5-2m)=36-20+8m=16+8m$

Aby były dwa punkty wspólne paraboli i prostej to nasze równanie musi mieć dwa rozwiązania. Czyli $\Delta$ musi być dodatnia. Zatem

$16+8m>0$

$8m>-16$

$m>-2$

Otrzymaliśmy tę samą odpowiedź, co w przypadku rozwiązania geometrycznego.

Przykład: Wskaż wykres funkcji określonej wzorem $f(x)=-x^2+6x-5$.

A
B
C
D

Odpowiedzi A i C możemy od razu odrzucić, ponieważ przedstawiają parabole uśmiechnięte, a współczynnik przy najwyższej potędze $a<0$, więc nasza parabola jest smutna. Obliczmy wierzchołek naszej paraboli.

$p=\frac{-6}{-2}=3$.

Zatem poprawną odpowiedzią jest B.

Przykład: Na poniższym rysunku przedstawiony jest wykres pewnej paraboli.

Wskaż wzór tej paraboli.

  1. $y=2(x-3)^2+2$
  2. $y=-2(x-3)^2-2$
  3. $y=2(x-3)^2-2$
  4. $y=2(x+3)^2+2$
Odczytujemy z wykresu, że wierzchołek ma współrzędne $(3, -2)$. Zatem wzór paraboli w postaci kanonicznej będzie postaci $y=a(x-3)^2-2$. Czyli zostają nam odpowiedzi 2. i 3. Ponieważ parabola jest uśmiechnięte, to poprawna jest odpowiedź 3.

Korzystając z poniższego widgetu możesz zobaczyć jaki wpływ na kształt i umiejscowienie paraboli mają współczynniki we wzorze ogólnym. Przesuwaj suwakami aby zmienić współczynniki $a, b, c$ we wzorze. Obserwuj też współrzędne wierzchołka, miejsca zerowe i znak delty.

0