Schemat rysowania wykresu
Przedstawimy teraz schemat rysowania wykresu funkcji kwadratowej $f(x)=ax^2+bx+c$.
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka paraboli. Korzystamy ze wzorów:
$p=\frac{-b}{2a}$, $q=\frac{-\Delta}{4a}$ (lub $q=f(p)$)
Wierzchołek paraboli $W=(p, q)$.
Liczymy miejsca zerowe funkcji, o ile istnieją. Korzystamy ze wzorów:
$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$, $x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$.
Jeśli $\Delta<0$, nie ma miejsc zerowych.
Wyznaczamy punkt przecięcia z osią $OY$. Punkt ten ma współrzędne $(0, c)$, ponieważ na osi $OY$ współrzędna $x$ jest równa $0$, a gdy podstawimy $x=0$ do wzoru funkcji to otrzymamy $f(0)=a\cdot0^2+b\cdot0+c=0+0+c=c$.
Jeśli chcemy narysować dokładniejszy wykres to możemy policzyć dodatkowo wartości funkcji w okolicy wierzchołka. To znaczy np w punktach o jedną lub dwie jednostki na lewo lub prawo od wierzchołka.
Obliczone w kolejnych krokach punkty zaznaczamy w układzie współrzędnych i rysujemy parabolę przechodzącą przez te punkty.
Przykłady
Krok 1: Wyznaczamy wierzchołek paraboli. $W=(p, q)$
$\Delta=b^2-4ac=2^2-4\cdot(-1)\cdot3=4+12=16$
$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{-2}=1$
$q=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-16}{-4}=4$
$W=(p, q)$
Krok 2: Liczymy miejsca zerowe. Ponieważ $\Delta>0$ (co policzyliśmy w poprzednim kroku), to funkcja ma dwa miejsca zerowe.
$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-2-\sqrt{16}}{-2}=\frac{-2-4}{-2}=\frac{-6}{-2}=3$
$x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\frac{-2+\sqrt{16}}{-2}=\frac{-2+4}{-2}=\frac{2}{-2}=-1$
Krok 3: Wyznaczamy punkt przecięcia z osią $OY$. Ten punkt ma współrzędne $(0, c)$, czyli w tym przypadku $(0, 3)$.
Krok 4: Mamy dużo informacji z poprzednich kroków, więc moglibyśmy pominąć ten krok, ale policzymy jeszcze wartości w pobliżu wierzchołka, żeby otrzymać ładniejszy wykres.
Skoro wierzchołek ma pierwszą współrzędną $p=1$, to policzmy wartości funkcji dla $x=0, x=2$ (oddalone o $1$ od wierzchołka) oraz dla $x=-1, x=3$ (oddalone o $2$ od wierzchołka) oraz dla $x=-2, x=4$ (oddalone o 3 od wierzchołka).
$f(0)=-0^2+2\cdot0+3=3$ Zatem do wykresu należy punkt $(0, 3)$ (ten punkt już tak naprawdę mieliśmy, to jest punkt przecięcia z osią $OY$).
$f(2)=-2^2+2\cdot2+3=3$ Zatem do wykresu należy punkt $(2, 3)$.
$f(-1)=-(-1)^2+2\cdot(-1)+3=0$ Zatem do wykresu należy punkt $(-1, 0)$ (ten punkt też już mieliśmy, to jest miejsce zerowe $x_2$).
$f(3)=-3^2+2\cdot3+3=0$ (Otrzymaliśmy drugie miejsce zerowe x_1$.)
$f(-2)=-(-2)^2+2\cdot(-2)+3=-5$ Otrzymaliśmy punkt $(-2, -5)$.
$f(4)=44^2+4\cdot4+3=-5$.
Krok 5: Teraz zaznaczamy wszystko na wykresie i rysujemy parabolę, czyli nasz wykres.
Krok 1: Wyznaczamy wierzchołek.
$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-0}2=0$
$q=f(p)=0^2+2=2$
$W=(0, 2)$
Krok 2: Liczymy miejsca zerowe.
$\Delta=b^2-4ac=0^2-4\cdot1\cdot2=-8<0$.
Skoro $\Delta<0$ to nie ma miejsc zerowych.
Krok 3: Punktem przecięcia paraboli z osią $OY$ jest punkt $(0, c)$ czyli punkt $(0, 2)$.
Krok 4: Zauważmy, że z kroku 2. nie mamy żadnych punktów do zaznaczenia na wykresie. A to, co otrzymaliśmy w kroku 3. pokrywa się z krokiem 1.. W takiej sytuacji musimy policzyć dodatkowe wartości w okolicy wierzchołka $p=0$.
Na podstawie poprzedniej uwagi możemy policzyć wartości tylko z jednej strony wierzchołka (policzymy wartości po prawo od wierzchołka), a odpowiednie wartości po drugiej (lewej) stronie będę im równe.
$f(1)=1^2+2=3$, zatem $f(-1)=3$. Otrzymaliśmy punkty $(1, 3)$ i $(-1, 3)$.
$f(2)=2^2+2=6$, zatem $f(-2)=6$. Otrzymaliśmy punkty $(2, 6)$ i $(-2, 6)$.
Krok 5: Zaznaczamy policzone punkty na wykresie i rysujemy parabolę.
Uwaga: Gdy wzór funkcji jest podany w postaci kanonicznej $f(x)=a(x-p)^2+q$ to od razu możemy odczytać współrzędne wierzchołka paraboli $W=(p, q)$.
A gdy wzór jest w postaci iloczynowej $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ to od razu możemy odczytać miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$.
Warto zauważyć, że kształt paraboli zależy od współczynnika $a$ we wzorze funkcji. Jeśli $a<0$ to parabola jest smutna (ramiona ma skierowane w dół), a jeśli $a>0$ to jest uśmiechnięta (ramiona skierowane w górę). Stromość lub rozłożystość też zależy od $a$. Jeśli $a$ jest duże, to parabola jest stroma. Jeśli $a$ jest bliskie zeru, ułamkowe to parabola staje się bardziej płaska.
Trudniejsze przykłady
Przyjrzymy się teraz bardziej skomplikowanym przykładom. Nie będą one polegały tylko na narysowaniu wykresu.
Aby zobaczyć ile punktów wspólnych ma parabola z jakąś prostą dobrze byłoby narysować tę parabolę. Liczymy według naszych kroków standardowe punkty
$W=(-3, -\frac12)$
$x_1=-4$
$x_2=-2$
Punkt przecięcia z osią $OY$ to $(0, 4)$.
Rysujemy wykres i zaznaczamy w tym samym
układzie współrzędnych interesujące nas proste.
Widzimy, że z prostą $y=2$ parabola ma $2$ punkty wspólne, z prostą $y=-1$ ma $0$ punktów wspólnych, a z prostą $y=-\frac12$ jeden punkt wspólny, bo ta prosta jest dokładnie na wysokości wierzchołka.
Uwaga: To zadanie można też rozwiązać analitycznie zamiast graficznie. Wystarczy przyrównać wzór paraboli do wzoru prostej i rozwiązać równanie. W przypadku prostej $y=2$ wygląda to tak:
$\frac12x^2+3x+4=2$
$\frac12x^2+3x+2=0$
$\Delta=3^2-4\cdot\frac12\cdot2=9-4=5$
$\Delta>0$, więc równanie ma dwa rozwiązania, czyli są dwa punkty wspólne wykresu funkcji i prostej $y=2$. Podobnie pozostałe przypadki.
Podobnie jak w poprzednim przykładzie dobrym pomysłem wydaje się narysowanie paraboli. Wystarczy, że policzymy wierzchołek i narysujemy parabolę uśmiechniętą. W tym zadaniu nie zależy nam bardzo na dokładności rysunku, więc nie musimy liczyć dodatkowych punktów.
$W=(-3, -4)$
Nasz rysunek powinien wyglądać mniej więcej tak:
Prosta $y=2m$ jest prostą (stałą) równoległą do osi $OX$, ponieważ w jej wzorze nie ma żadnego $x$. Wysokość na której się znajduje zależy od wartości $m$. Nam zależy żeby ona przecięła się dwa razy z parabolą, więc musi być powyżej wierzchołka paraboli.
Zatem $2m>-4$ czyli $m>-2$.
Otrzymaliśmy odpowiedź, że dla $m>-2$ parabola ma dwa punkty wspólne z prostą.
Uwaga: To zadanie można było rozwiązać analitycznie w podobny sposób jak poprzednie. Przyrównujemy wzór paraboli ze wzorem prostej i otrzymujemy równanie z niewiadomą $x$. Literki $m$ nie należy się bać, jest ona parametrem i traktujemy ją na razie jak jakąś liczbę.
$x^2+6x+5=2m$
$x^2+6x+5-2m$
$\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot(5-2m)=36-20+8m=16+8m$
Aby były dwa punkty wspólne paraboli i prostej to nasze równanie musi mieć dwa rozwiązania. Czyli $\Delta$ musi być dodatnia. Zatem
$16+8m>0$
$8m>-16$
$m>-2$
Otrzymaliśmy tę samą odpowiedź, co w przypadku rozwiązania geometrycznego.
Przykład: Wskaż wykres funkcji określonej wzorem $f(x)=-x^2+6x-5$.
A![]() |
B![]() |
C![]() |
D![]() |
Odpowiedzi A i C możemy od razu odrzucić, ponieważ przedstawiają parabole uśmiechnięte, a współczynnik przy najwyższej potędze $a<0$, więc nasza parabola jest smutna. Obliczmy wierzchołek naszej paraboli.
$p=\frac{-6}{-2}=3$.
Zatem poprawną odpowiedzią jest B.
Przykład: Na poniższym rysunku przedstawiony jest wykres pewnej paraboli.
Wskaż wzór tej paraboli.
- $y=2(x-3)^2+2$
- $y=-2(x-3)^2-2$
- $y=2(x-3)^2-2$
- $y=2(x+3)^2+2$
Korzystając z poniższego widgetu możesz zobaczyć jaki wpływ na kształt i umiejscowienie paraboli mają współczynniki we wzorze ogólnym. Przesuwaj suwakami aby zmienić współczynniki $a, b, c$ we wzorze. Obserwuj też współrzędne wierzchołka, miejsca zerowe i znak delty.