Na początku zdefiniujemy pojęcie wyrażenia algebraicznego.

Wyrażenia, w których występują liczby i litery połączone znakami działań i nawiasami nazywamy wyrażeniami algebraicznymi.

Są one w postaci:

$$\color{green}{2}\color{black}{x},~\color{green}{7}\color{black}{x^{2}},\color{green}{2}\color{black}{x-1},~\color{green}{3}\color{black}{x}-\color{green}{2}\color{black}{y+7},~\color{black}{a^{2}+b^{2}}$$

gdzie: liczby na zielono to współczynniki liczbowe.

Nazwy wyrażeń algebraicznych

Działania matematyczne można zapisać słownie, tzn.:

Działanie matematyczne Zapis słowny
$$a+y$$ Suma liczb $a$ i $y$
$$a-y$$ różnica liczb $a$ i $y$
$$a\cdot y$$ iloczyn liczb $a$ i $y$
$$a\div y$$ iloraz liczb $a$ i $y$
$$3a$$ potrojona liczba $a$
$$2a$$ podwojona liczba $a$
$$a-10$$ Liczba o $10$ mniejsza od $a$
$$a^{2}$$ Kwadrat liczby $a$
$$a^{2}+y^{2}$$ Suma kwadratów liczb $a$ i $y$
$$(a+y)^{2}$$ Kwadrat sumy liczb $a$ i $y$
$$a^{3}-y^{3}$$ Różnica sześcianów liczb $a$ i $y$
$$4a$$ Liczba $4$ razy większa od $a$

Obliczanie wyrażenia algebraicznego

Przykład 1.
Oblicz wartość liczbową wyrażenia $3x^{2}-2x+1$ dla $x=5$.

Wystarczy tutaj podstawić za $x$ liczbę 5. Wówczas:

$$3\cdot(5)^{2}-2\cdot5+1=3\cdot25-10+1=75-10+1=65+1=66$$

Odpowiedź: Dla $x=5$, wyrażenie $3x^{2}-2x+1$ przyjmuje wartość $66$.

Przykład 2.
Oblicz wartość liczbową wyrażenia $(1-2x)^{2}-3(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$ dla $x=3$.

Dla $x=3$ powyższe wyrażenie jest w postaci:

$$(1-2\cdot3)^{2}-3\cdot\underbrace{(3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})}_{\color{red}{(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}}=(1-6)^{2}-3(9-2)=(-5)^{2}-3\cdot7=$$$$=25-21=4$$

Odpowiedź: Dla $x=3$, wyrażenie $(1-2x)^{2}-3(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$ przyjmuje wartość $4$.

Przykład 3.
Oblicz wartość liczbową wyrażenia $x^{3}y^{2}-y^{3}x^{2}$ dla $x=-1~i~y=1$.

Dla $x=-1~i~y=1$ powyższe wyrażenie jest w postaci:

$$(-1)^{3}\cdot(1)^{2}-(1)^{3}\cdot(-1)^{2}=-1\cdot1-1\cdot1=-1-1=-2$$

Odpowiedź: Dla$x=-1~i~y=1$, wyrażenie $x^{3}y^{2}-y^{3}x^{2}$ przyjmuje wartość $-2$.

Jednomiany

Jednomianem nazywamy liczby i litery połączone znakiem mnożenia.
Przykłady.
Jednomianami są między innymi:
$$\color{blue}{x},~\color{black}{\frac{1}{2}}\color{blue}{x},~\color{blue}{x^{2}},~\color{black}{2}\color{blue}{xy},~\color{black}{5}\color{x^{2}y^{3}},~\color{black}{-\frac{2}{3}}\color{blue}{abc}$$
Jednomianem podobnym nazywamy jednomiany, które różnią się jedynie współczynnikiem liczbowym.
Przykłady jednomianów podobnych
  • $x,~4x,~\frac{1}{3}x,~17x~$ są podobne,
    bo wszystkie te jednomiany mają taką samą literę $\rightarrow~x$
  • $4x^{2}y,~x^{2}y,~\sqrt{17}x^{2}y,~\pi x^{2}y$ są podobne,
    bo wszystkie te jednomiany mają takie same litery $\rightarrow~x^{2}y$
  • $x^{2},~y^{2},~x^{2}y^{2}$ nie są podobne,
    bo mają one różne litery.
  • $2x^{2}yz,~zx^{2}y,~51yzx^{2}$ również są podobne,
    bo wszystkie te jednomiany mają takie same litery $\rightarrow~x^{2}yz$ mimo, iż występują one w różnej kolejności – mnożenie jest przemienne, zatem $x^{2}yz=~zx^{2}y=yzx^{2}$
Przykład 4.
Uprość wyrażenie $4x^{4}+17x+x^{4}$
Jednomianami podobnymi są $4x^{4}~i~x^{4}$. Zatem: $$\color{blue}{4x^{4}}\color{black}{+17x+}\color{blue}{x^{4}}\color{black}{=5x^{4}+17x}$$

Rozdzielność mnożenia względem dodawania i odejmowania

Żeby zrozumieć lepiej mechanizm rozdzielności mnożenia względem dodawania/odejmowania, to spójrz na przykład.

Niech $(x^{2}-y^{2})\cdot 4ac$

Najpierw mnożymy wyrażenie $x^{2}$ przez $4ac$, a następnie mnożymy wyrażenie $y^{2}$ przez $4ac$.

Zatem: $$(x^{2}-y^{2})\cdot 4ac = x^{2}\cdot4ac – y^{2}\cdot4ac$$

Zadania

Zadanie 1.
Równość $(a+2\sqrt{2})^{2}=a^{2}+24\sqrt{24}+6$ zachodzi dla
$$A. \sqrt{2},~~B. -\frac{1}{4}\sqrt{2}+6,~~C. 8,~~ D. 7$$
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia mamy, że: $$(a+2\sqrt{2})^{2} = a^{2}+4\sqrt{2}a+8$$
Rozwiązujemy równanie, tzn.: $$\color{red}{a^{2}}\color{black}{+4\sqrt{2}a+8=}\color{red}{a^{2}}\color{black}{+24\sqrt{24}+6} ~~~/-a^2$$ $$4\sqrt{2}a+8=24\sqrt{2}+6$$ Przenosimy liczby na prawą stronę, wszystko z niewiadomą $a$ zostaje po lewej stronie równania:$$4\sqrt{2}a=24\sqrt{2}+6-8$$ $$4\sqrt{2}a = 24\sqrt{24}-2 ~~~/:4$$ $$a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}-\frac{1}{2}~~~/:\sqrt{2}$$ $$a=6-\frac{1}{2\sqrt{2}}$$ Usuwamy niewymierność z mianownika tj.$\frac{1\cdot\color{red}{\sqrt{2}}}{2\sqrt{2}\cdot\color{red}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2\cdot2}$, zatem: $$a = 6-\frac{\sqrt{2}}{4}$$
Odpowiedź: C.
Zadanie 2.
Jeżeli $a=\frac{1}{2},~b=3+\sqrt{2},~c=4-\sqrt{2}$, to ile wynosi wartość wyrażenia $\frac{b-2c}{a}$?

Podstawiając za $a,~b,~c$ odpowiednie liczby mamy:

$$\frac{3+\sqrt{2}-2(4-\sqrt{2})}{\frac{1}{2}} = \frac{3+\sqrt{2}-8+2\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=(3\sqrt{2}-5)\cdot \frac{2}{1}=$$$$=2(3\sqrt{2}-5) = 6\sqrt{2}-10$$

Odpowiedź: Dla $a=\frac{1}{2},~b=3+\sqrt{2},~4-\sqrt{2}$, wyrażenie $\frac{b-2c}{a}$ przyjmuje wartość $6\sqrt{2}-10$.

Zadanie 3.
Ile wynosi $(x-2y)(x^{2}+2xy+4y^{2})$ dla $x=1,~y=1$?

Podstawiając za $x,~y$ liczbę 1 otrzymujemy:

$$(1-2\cdot 1)(1+2\cdot 1\cdot+4\cdot 1) = (-1)(1+2+4) = (-1)\cdot 7 = -7$$

Odpowiedź: Szukana liczba to 7.

Zadanie 4. (MATURA 2018)
Wyrażenie $5a^{2}-10ab+15a$ jest równe iloczynowi:

$$A. 5a^{2}(1-10b+3),~~B. 5a(a-2b+3),~~C. 5a(a-10b+15),~~ D. 5(a-2b+3)$$
Wspólnym czynnikiem dla tego wyrażenia jest $5a$, ponieważ we wszystkich składnikach występuje $a$ oraz współczynniki liczbowe są wielokrotnościami liczby 5, więc po wyciągnięciu przed nawias liczb $5a$ otrzymujemy: $$5a^{2}-10ab+15a=5a(a-2b+3)$$ Możesz sprawdzić, że po opuszczeniu nawiasu po prawej stronie równania istotnie otrzymujemy lewą stronę.
Odpowiedź: B.
Zadanie 5.
Niech $k=2-2\sqrt{3}$, zaś $m=1-\sqrt{2}$.
Oblicz $k^{2}-12m$
Podstawiając za $k,~m$ odpowiednie liczby i korzystając ze wzoru skróconego mnożenia otrzymujemy:

$$(2-2\sqrt{3})^{2}-12(1-\sqrt{2}) = 4 – 8\sqrt{3} + {(2\sqrt{3})}^{2} – 12 -12\cdot(-\sqrt{2}) =$$$$=4 – 8\sqrt{3} + 12 – 12 +12\sqrt{2} = 4 + 4\sqrt{3}$$

Odpowiedź: Szukana liczba to $4+\sqrt{3}$.

Zadanie 6.
Jeśli $a=\frac{b}{c-b}$, to ile wynosi $b$?
Mnożąc wyrażenie $\frac{a}{1}=\frac{b}{c-b}$ na krzyż, otrzymujemy: $$a(c-b)=1\cdot b$$ $$ac-ab = b$$ Szukamy liczby $b$, więc niewiadomą przenosimy na lewą stronę powyższej równości, czyli: $$-ab-b=-ac$$ $$-b(a+1)=-ac ~~~/\cdot(-1)$$ $$b(a+1) = ac$$ Zatem: $$b=\frac{ac}{a+1}$$
0