W analizie dynamiki najczęstszym zagadnieniem spotykanym na kolokwiach i egzaminach są indeksy jednopodstawowe i łańcuchowe oraz średniookresowe tempo zmian.

Indeksy jednopodstawowe

Indeksy jednopodstawowe (o ustalonej podstawie) mówią nam jak zmieniła się wartość zjawiska w danym okresie względem okresu podstawowego

$$i_{t/t^{*}}=\frac{y_{t}}{y_{t^{*}}}\hspace{4cm} \frac{y_{0}}{y_{0}} , \frac{y_{1}}{y_{0}} , \frac{y_{2}}{y_{0}} , \frac{y_{3}}{y_{0}} , \frac{y_{4}}{y_{0}} , \cdots , \frac{y_{n}}{y_{0}}$$

Dzielimy wartości z danego okresu przez wartość z okresu podstawowego

Przykład 1:

Lata $(t)$ Produkcja $(y)$ Indeksy jednopodstawowe
2003 50 1
2004 52 52 / 50 = 1,04
2005 48 48 / 50 = 0,96
2006 46 46 / 50 = 0,92
2007 51 51 / 50 = 1,02
2008 54 54 / 50 = 1,08

Rozwiązanie: Zinterpretujemy przykładowe 2 indeksy:

  • $i_{2008/2003}=1,08$ co oznacza, że w 2008 wartość wzrosła o 8% względem roku 2003
  • $i_{2006/2003}=0,92$ co oznacza, że wartość zmalała o 8% względem roku 2003.

Indeksy łańcuchowe

Indeksy łańcuchowe (o zmiennej podstawie) mówią nam jak zmieniła się wartość zjawiska w danym okresie względem okresu poprzedniego

$$i_{t/t-1}=\frac{y_{t}}{y_{t-1}}\hspace{4cm} \frac{y_{1}}{y_{0}} , \frac{y_{2}}{y_{1}} , \frac{y_{3}}{y_{2}} , \frac{y_{4}}{y_{3}} ,  \cdots , \frac{y_{n}}{y_{n-1}}$$

Dzielimy wartości z danego okresu przez wartość z okresu poprzedniego

Przykład 2:

Lata $(t)$ Produkcja $(y)$ Indeksy łańcuchowe
2003 50 1
2004 52 52 / 50 = 1,04
2005 48 48 / 52 = 0,923
2006 46 46 / 48 = 0,958
2007 51 51 / 46  = 1,109
2008 54 54 / 51 = 1,059

Rozwiązanie: Zinterpretujemy przykładowe 2 indeksy:

  • $i_{2008/2007}=1,059$ co oznacza, że w 2008 wartość wzrosła o 5,9% względem roku poprzedniego
  • $i_{2006/2005}=0,958$ co oznacza, że wartość zmalała o 4,2% względem roku poprzedniego.
Uwaga: W zależności od uczelni indeksy podaje się w postaci np. 100, 102, 98 lub w postaci 1, 1,02, 0,98 (w obu przypadkach indeksy oznaczają odpowiednio brak wzrostu, wzrost o 2%, spadek o 2%).

Indeksy jednopodstawowe i łańcuchowe – zadania z rozwiązaniami

Przykład 3: Na podstawie danych dotyczących produkcji wyrobu M oblicz przyrosty i indeksy oraz tempo zmian produkcji w badanym okresie:

Lata $(t)$ Produkcja wyrobu M w sztukach $(y_{t})$
2003 50
2004 52
2005 48
2006 56
2007 51
2008 54

Rozwiązanie: Obliczenia zapiszemy w poniższej tabeli:

Najpierw przyrosty absolutne jednopodstawowe i łańcuchowe

Lata $(t)$ Produkcja wyrobu M w szt. $(y_{t})$ Przyrosty absolutne
jednopodstawowe w szt. $(2003=t_{0})$ łańcuchowe w szt.
2003 50 50-50=0
2004 52 52-50=2 52-50=2
2005 48 48-50=-2 48-52=-4
2006 46 46-50=-4 46-48=-2
2007 51 51-50=1 51-46=5
2008 54 54-50=4 54-51=3

Następnie przyrosty względne jednopodstawowe i łańcuchowe

Lata $(t)$ Produkcja wyrobu M w szt. $(y_{t})$ Przyrosty względne
jednopodstawowe w % $(2003=t_{0})$ łańcuchowe w %
2003 50 0
2004 52 2/50=+4% 2/50=+4%
2005 48 -2/50=-4% -4/52=-7,7%
2006 46 -8% -4,2%
2007 51 +2% +10,9%
2008 54 +8% +5,9%

I w końcu indeksy jednopodstawowe i łańcuchowe

Lata $(t)$ Produkcja wyrobu M w szt. $(y_{t})$ Indeksy
jednopodstawowe $i_{t/t_{0}}$ $(2003=100)$ łańcuchowe $i_{t/t-1}$ $(rok \hspace{0,1 cm} poprzedni = 100)$
2003 50 1,00 1,00
2004 52 52/50=1,04 52/50=1,04
2005 48 48/50=0,96 48/52=0,923
2006 46 46/50=0,92 46/48=0,958
2007 51 51/50=1,02 51/46=1,109
2008 54 54/50=1,08 54/51=1,059

Średnie tempo zmian:
$$r=\sqrt[5]{1,04\cdot 0,923\cdot 0,958 \cdot 1,109\cdot 1,059}=\sqrt[5]{\frac{54}{50}}=\sqrt[5]{1,08}=1,016$$
Odpowiedź: Średni roczny przyrost produkcji wyrobu M w latach 2003-2008 wynosił 1,6% (wielkość produkcji wzrastała z roku na rok średnio o 1,6%).

Przykład 4: Liczba zamówień złożonych w okresie luty-czerwiec w pewnym sklepie internetowym w kolejnych miesiącach spadała w stosunku do stycznia kolejno o 2%, 4%, 8%, 7%, 5%.
a) Wyznacz procentowe zmiany liczby zamówień z miesiąca na miesiąc.
b) Wyznacz średnie miesięczne tempo zmiany liczby zamówień.
c) O ile procent zmieniła się liczba zamówień w czerwcu w stosunku do maja?
d) O ile procent zmieniła się liczba zamówień w maju w stosunku do lutego?
Rozwiązanie:
a)

miesiąc styczeń luty marzec kwiecień maj czerwiec
zmiana w % z miesiąc na miesiąc 100 98 96 92 93 95
indeksy łańcuchowe 98% 97,96% 95,83% 101,09% 102,15%

b) Korzystamy z następującego wzoru:
$$\overline{i}_{g}=\sqrt[n-1]{\frac{y_{n}}{y_{1}}}$$
$$\overline{i}_{g}=\sqrt[5]{\frac{95}{100}}=0,9898$$
Obliczamy średnie tempo zmian ze wzoru:
$$r=\overline{i}_{g}-1$$
$$r=0,9898-1=-0,0102$$
Zobacz również temat średniookresowe tempo zmian.
Odpowiedź: Liczba złożonych zamówień spadała średnio o 1,02% co miesiąc.

c)
$$i_{6/5}=\frac{y_{6}}{y_{5}}=\frac{95}{93}=102,15%$$
Odpowiedź: Liczba zamówień w czerwcu w stosunku do maja wzrosła o 2,15%.

d)
$$i_{5/2}=\frac{y_{5}}{y_{2}}=\frac{93}{98}=94,90%$$
Odpowiedź: Liczba zamówień w maju w stosunku do lutego zmalała o 5,1%.

0