Zadanie: W populacji kotów jest $5\%$ angorskich. W kamienicy mieszka $6$ kotów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden jest angorski?
Uwaga: Więcej zagadnień matematycznych odnoszących się do powyższego zadania znajdziesz na stronie rozkład Bernoulliego.
Rozwiąż zadanie za pomocą widgetu:
Rozwiązanie:
Zaczynamy od wypisania danych:
$p=0.05$ (prawdopodobieństwo sukcesu – w tym przypadku sukcesem jest to, że kot jest angorski)
$n=6$ (“badamy” 6 kotów, czyli dokonujemy 6 “eksperymentów”)
$k\geq1$ (chcemy policzyć prawdopodobieństwo co najmniej 1 sukcesu – czyli 1,2,3,4,5 lub 6 sukcesów). Prościej będzie policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia odwrotnego (0 sukcesów) i odjęcie od 1.
$P(X\geq1) = 1-P(X<1)=1-P(X=0)$
Wzór:
$P(X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$
$P(X\geq1)=1-P(X=0)=\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\cdot0.05^0\cdot(1-0.05)^{6}$$=1-1 \cdot 1 \cdot 0.95^5 = 0.265$
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo co najmniej 1 sukcesu wynosi $26.5\%$.
Wzór – Rozkład Bernoulliego
Prawdopodobieństwo osiągnięcia k sukcesów w n próbach, gdzie prawdopodobieństwo osiągnięcia sukcesu w pojedynczej próbie wynosi p wyliczamy wzorem:
$$P(X={\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}k})\;=\;\begin{pmatrix}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}n}\\{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}k}\end{pmatrix}\cdot{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}p}^{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}k}\cdot(1-{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}p})^{{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}n}-{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}k}}$$
$$P(X={\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}k})\;=\;\begin{pmatrix}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}n}\\{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}k}\end{pmatrix}\cdot{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}p}^{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}k}\cdot(1-{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}p})^{{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}n}-{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}k}}$$
Bibliografia:
- Rószkiewicz Małgorzata, Statystyka: Kurs podstawowy, Warszawa, EFEKT, 2002, ISBN 83-87338-15-X
0