Kwartyle w szeregu rozdzielczym przedziałowym
Kwartyle dzielą uporządkowane wartości na „ćwiartki”. Czyli 25% wartości jest mniejsza lub równa od 1. kwartyla oraz 75% wartości jest większa lub równa od 1. kwartyla.
Wyznaczanie kwartyli w przypadku szeregów szczegółowych i punktowych jest proste. Musimy znaleźć tylko odpowiednią wartość.
W przypadku szeregów przedziałowych, możemy łatwo wyznaczyć w którym przedziale leży kwartyl, ale aby wyznaczyć go dokładnie, musimy zastosowac wzory:
$$Q_{1}=x_{0Q_{1}} + (N_{Q_{1}}-n_{isk-1})\cdot \frac{h_{Q_{1}}}{n_{Q_{1}}}$$gdzie:
- $n_{Q_{1}}$ – liczebność przedziału zawierającego kwantyl pierwszy,
- $x_{0Q_{1}}$ – dolna granica przedziału zawierającego kwantyl pierwszy,
- $n_{isk-1}$ – liczebność skumulowana przedziału poprzedzającego liczebność skumulowaną kwartyla pierwszego,
- $h_{Q_{1}} = x_{1Q_{1}(górne)} – x_{0Q_{1}(dolne)}$ – rozpiętość (szerokość) przedziału zawierającego kwantyl pierwszy,
- $N_{Q_{1}}$ – pozycja kwantyla pierwszego.
Analogicznie wyznaczamy wzór na kwartyl drugiego rzędu i trzeciego rzędu, tzn.:
$$Q_{2}=x_{0Q_{2}} + (N_{Q_{2}}-n_{isk-1})\cdot \frac{h_{Q_{1}}}{n_{Q_{2}}}$$ $$Q_{3}=x_{0Q_{3}} + (N_{Q_{3}}-n_{isk-1})\cdot \frac{h_{Q_{3}}}{n_{Q_{3}}}$$
Jak wyznaczyć pozycję kwartyla?
Pozycje kwartyli: |
$$N_{Q_{1}} = \frac{n}{4}$$ |
$$N_{Q_{2}} = \frac{n}{2}$$ |
$$N_{Q_{3}} = \frac{3n}{4}$$ |
gdzie: $n$ – liczba elementów w populacji.
W poniżej tabelki przedstawiono zużycie mięsa na osobę w kg w stosunku do liczby gospodarstw domowych:
Zużycie mięsa w kg na osobę |
Liczba gospodarstw domowych |
30-35 |
10 |
35-40 |
15 |
40-45 |
25 |
45-50 |
45 |
50-55 |
40 |
55-60 |
15 |
Obliczyć $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$.
Tworzymy nową kolumnę – liczebności skumulowane
Zużycie mięsa w kg na osobę |
Liczba gospodarstw domowych |
Liczebność skumulowana |
30-35 |
10 | 10 |
35-40 |
15 |
25 |
40-45 |
25 |
50 |
45-50 |
45 |
95 |
50-55 |
40 |
135 |
55-60 |
15 |
150 |
Ogółem | 150 |
X |
Ostatnia wartość w tej kolumnie powinna oczywiście równa być równa łącznej liczebności – jeżeli nam tak nie wyszło, to zrobiliśmy po drodze błąd.
Krok 2:
Obliczamy pozycje kwartyli (dla liczebności parzystej)
$$N{Q_{1}} = \frac{n}{4} = \frac{150}{4} = 37.5$$ $$N{Q_{2}} = \frac{n+1}{2} = \frac{151}{2} = 75,5$$ $$N{Q_{3}} = \frac{3n}{4} = \frac{3 \cdot 150}{4} = 112.5$$
Stąd kwartyle będą w następujących przedziałach:
Zużycie mięsa w kg na osobę |
Liczba gospodarstw domowych | Liczebność skumulowana |
30-35 |
10 |
10 |
35-40 |
15 |
25 |
40-45 |
25 |
50 $\leftarrow Q_{1}$ |
45-50 |
45 |
95 $\leftarrow Q_{2}$ |
50-55 |
40 |
135 $\leftarrow Q_{3}$ |
55-60 |
15 |
150 |
Ogółem |
150 |
X |
Krok 3:
$N_{Q_{1}} = 37.5$, w przedziale 40-45 mamy wartości od 26 do 50, czyli 37.5 należy do tego przedziału, więc jest to przedział kwartyla pierwszego.
$N_{Q_{2}} = 75,5$, w przedziale 45-50 mamy wartości od 50 do 95, więc jest to przedział kwartyla drugiego.
$N_{Q_{3}} = 37,5$, w przedziale 50-55 mamy wartości od 96 do 135, więc jest to przedział kwartyla drugiego.
Dla kwartyla pierwszego:
Zużycie mięsa w kg na osobę |
Liczba gospodarstw domowych |
Liczebność skumulowana |
30-35 |
10 |
10 |
35-40 |
15 |
25 |
40-45 |
25 |
50 |
45-50 |
45 |
95 |
50-55 |
40 |
135 |
55-60 |
15 |
150 |
Ogółem |
150 |
X |
Wzór: $$Q_{1}=x_{0Q_{1}} + (N_{Q_{1}}-n_{isk-1})\cdot \frac{h_{Q_{1}}}{n_{Q_{1}}}$$
Stąd $Q_1=42,5$
Oznacza to, że 25% gospodarst miało spożycie mięsa 42.5kg lub mniej a 75% gospodarstw 42.5kg lub więcej.
Analogicznie:
$$Q_{2} = 45 + \frac{75-50}{45} \cdot 5 = 47,8 kg$$ $$Q_{3} = 50 + \frac{112,5-95}{40} \cdot 5 = 52,2 kg$$
Interpretacja: Otrzymane wyniki oznaczają odpowiednio:
- $(Q_{1})$ – w 25 $\%$ gospodarstw domowych spożycie mięsa na osobę nie przekraczało 42,5 kg, natomiast w 75 $\%$ gospodarstw było wyższe od 42,5 kg,
- $(Q_{2})$ – w 50 $\%$ gospodarstw domowych spożycie mięsa na osobę nie przekraczało 47,8 kg i w takim samym odsetku gospodarstw było wyższe od 47,8 kg,
- $(Q_{3})$ – w 75 $\%$ gospodarstw domowych spożycie mięsa na osobę nie przekraczało 52,4 kg, a w 25 $\%$ gospodarstw było wyższe od 52,4 kg na osobę.