Kwartyle w szeregu rozdzielczym przedziałowym

Kwartyle dzielą uporządkowane wartości na „ćwiartki”. Czyli 25% wartości jest mniejsza lub równa od 1. kwartyla oraz 75% wartości jest większa lub równa od 1. kwartyla.

Wyznaczanie kwartyli w przypadku szeregów szczegółowych i punktowych jest proste. Musimy znaleźć tylko odpowiednią wartość.

W przypadku szeregów przedziałowych, możemy łatwo wyznaczyć w którym przedziale leży kwartyl, ale aby wyznaczyć go dokładnie, musimy zastosowac wzory:

Kwantyl pierwszego rzędu w szeregu rozdzielczym przedziałowym liczy się ze wzoru:
$$Q_{1}=x_{0Q_{1}} + (N_{Q_{1}}-n_{isk-1})\cdot \frac{h_{Q_{1}}}{n_{Q_{1}}}$$gdzie:

  • $n_{Q_{1}}$ – liczebność przedziału zawierającego kwantyl pierwszy,
  • $x_{0Q_{1}}$ – dolna granica przedziału zawierającego kwantyl pierwszy,
  • $n_{isk-1}$ – liczebność skumulowana przedziału poprzedzającego liczebność skumulowaną kwartyla pierwszego,
  • $h_{Q_{1}} = x_{1Q_{1}(górne)} – x_{0Q_{1}(dolne)}$ – rozpiętość (szerokość) przedziału zawierającego kwantyl pierwszy,
  • $N_{Q_{1}}$ – pozycja kwantyla pierwszego.

Analogicznie wyznaczamy wzór na kwartyl drugiego rzędu i trzeciego rzędu, tzn.:
$$Q_{2}=x_{0Q_{2}} + (N_{Q_{2}}-n_{isk-1})\cdot \frac{h_{Q_{1}}}{n_{Q_{2}}}$$ $$Q_{3}=x_{0Q_{3}} + (N_{Q_{3}}-n_{isk-1})\cdot \frac{h_{Q_{3}}}{n_{Q_{3}}}$$

Jak wyznaczyć pozycję kwartyla?

Pozycje kwartyli:

$$N_{Q_{1}} = \frac{n}{4}$$
$$N_{Q_{2}} = \frac{n}{2}$$
$$N_{Q_{3}} = \frac{3n}{4}$$

gdzie: $n$ – liczba elementów w populacji.

Przykład.
W poniżej tabelki przedstawiono zużycie mięsa na osobę w kg w stosunku do liczby gospodarstw domowych:

Zużycie mięsa w kg na osobę

Liczba gospodarstw domowych

30-35

10

35-40

15

40-45

25

45-50

45

50-55

40

55-60

15

Obliczyć $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$.

Krok 1:
Tworzymy nową kolumnę – liczebności skumulowane

Zużycie mięsa w kg na osobę

Liczba gospodarstw domowych

Liczebność skumulowana

30-35

10 10

35-40

15

25

40-45

25

50

45-50

45

95

50-55

40

135

55-60

15

150

Ogółem 150

X

Ostatnia wartość w tej kolumnie powinna oczywiście równa być równa łącznej liczebności – jeżeli nam tak nie wyszło, to zrobiliśmy po drodze błąd.

Krok 2:
Obliczamy pozycje kwartyli (dla liczebności parzystej)
$$N{Q_{1}} = \frac{n}{4} = \frac{150}{4} = 37.5$$ $$N{Q_{2}} = \frac{n+1}{2} = \frac{151}{2} = 75,5$$ $$N{Q_{3}} = \frac{3n}{4} = \frac{3 \cdot 150}{4} = 112.5$$
Stąd kwartyle będą w następujących przedziałach:

Zużycie mięsa w kg na osobę

Liczba gospodarstw domowych Liczebność skumulowana

30-35

10

10

35-40

15

25

40-45

25

50 $\leftarrow Q_{1}$

45-50

45

95 $\leftarrow Q_{2}$

50-55

40

135 $\leftarrow Q_{3}$

55-60

15

150

Ogółem

150

X

Krok 3:
$N_{Q_{1}} = 37.5$, w przedziale 40-45 mamy wartości od 26 do 50, czyli 37.5 należy do tego przedziału, więc jest to przedział kwartyla pierwszego.
$N_{Q_{2}} = 75,5$, w przedziale 45-50 mamy wartości od 50 do 95, więc jest to przedział kwartyla drugiego.
$N_{Q_{3}} = 37,5$, w przedziale 50-55 mamy wartości od 96 do 135, więc jest to przedział kwartyla drugiego.

Dla kwartyla pierwszego:

Zużycie mięsa w kg na osobę

Liczba gospodarstw domowych

Liczebność skumulowana

30-35

10

10

35-40

15

25

40-45

25

50

45-50

45

95

50-55

40

135

55-60

15

150

Ogółem

150

X

Wzór: $$Q_{1}=x_{0Q_{1}} + (N_{Q_{1}}-n_{isk-1})\cdot \frac{h_{Q_{1}}}{n_{Q_{1}}}$$

Stąd $Q_1=42,5$

Oznacza to, że 25% gospodarst miało spożycie mięsa 42.5kg lub mniej a 75% gospodarstw 42.5kg lub więcej.

Analogicznie:
$$Q_{2} = 45 + \frac{75-50}{45} \cdot 5 = 47,8 kg$$ $$Q_{3} = 50 + \frac{112,5-95}{40} \cdot 5 = 52,2 kg$$

Interpretacja: Otrzymane wyniki oznaczają odpowiednio:

  • $(Q_{1})$ – w 25 $\%$ gospodarstw domowych spożycie mięsa na osobę nie przekraczało 42,5 kg, natomiast w 75 $\%$ gospodarstw było wyższe od 42,5 kg,
  • $(Q_{2})$ – w 50 $\%$ gospodarstw domowych spożycie mięsa na osobę nie przekraczało 47,8 kg i w takim samym odsetku gospodarstw było wyższe od 47,8 kg,
  • $(Q_{3})$ – w 75 $\%$ gospodarstw domowych spożycie mięsa na osobę nie przekraczało 52,4 kg, a w 25 $\%$ gospodarstw było wyższe od 52,4 kg na osobę.
1+