Czym jest asymetria rozkładu?
Wyróżniamy trzy typy asymetrii rozkładu:
Jakie mamy miary asymetrii?
gdzie:
Miary klasyczne (oparte o momenty) |
wzór |
Trzeci moment centralny | $$\mu_{3N}(x) = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_{i}-\overline{x})^{3}}{n}$$ gdzie: $\overline{x}$ – średnia arytmetyczna |
Klasyczny współczynnik asymetrii | $$A(x) = \frac{\mu_{3}(x)}{S^{3}(x)}$$ gdzie: $S$ – odchylenie standardowe |
Przykład
Policzyć trzeci moment centralny i klasyczny współczynnik asymetrii, gdzie:
Liczba wizyt w teatrze $x_{i}$ | Liczba studentów $n_{i}$ |
0 | 16 |
1 | 27 |
2 | 25 |
3 | 21 |
4 | 7 |
5 | 4 |
Najpierw potrzebujemy obliczyć średnią:
$x_{i}$ | $n_{i}$ | $x_{i} \cdot n_{i}$ |
0 | 16 | 0 |
1 | 27 | 27 |
2 | 25 | 50 |
3 | 21 | 63 |
4 | 7 | 28 |
5 | 4 | 20 |
$\sum$ | 100 | 188 |
$$\overline{X} = \frac{188}{100}=1.88$$
Następnie możemy wyliczyć kolejną kolumnę:
$x_{i}$ | $n_{i}$ | $x_{i} \cdot n_{i}$ | $(x_{i}-\overline{x})^{3} \cdot n_{i}$ |
0 | 16 | 0 | -106,3148 |
1 | 27 | 27 | -18,3997 |
2 | 25 | 50 | 0,0432 |
3 | 21 | 63 | 29,5035 |
4 | 7 | 28 | 66,6969 |
5 | 4 | 20 | 121,4853 |
$\sum$ | 100 | 188 | 93,0144 |
Zatem:
Więc asymetria jest dodatnia.
Obliczymy teraz współczynnik asymetrii:
$$A(x) = \frac{\mu_{3} (x)}{S^{3} (x)}$$
Potrzebujemy znać odchylenie standardowe s, więc:
$x_{i}$ | $n_{i}$ | $x_{i} \cdot n_{i}$ | $(x_{i}-\overline{x})^{2} \cdot n_{i}$ |
0 | 16 | 0 | 56,5504 |
1 | 27 | 27 | 20,9088 |
2 | 25 | 50 | 0,36 |
3 | 21 | 63 | 26,3424 |
4 | 7 | 28 | 31,4608 |
5 | 4 | 20 | 38,9376 |
$\sum$ | 100 | 188 | 174,56 |
Stąd:
$$s^{2}=\frac{174,56}{100} = 1.7456$$ $$s \approx 1.3212$$
Zatem:
$$A(x) = \frac{0.9301}{1.3212^{3}} \approx 0.4033$$
Co oznacza słabą asymetrię dodatnią.
Asymetrię obrazuje wykres:
Interpretacja trzeciego momentu centralnego
$\mu_{3N} (x)$ jest miarą absolutną, więc mówi nam jedynie o kierunku asymetrii, nie mówi nic o sile.
wzór | Interpretacja |
$$\mu_{3N}(x) > 0 $$ | Asymetria dodatnia |
$$\mu_{3N}(x) = 0 $$ | Brak asymetrii |
$$\mu_{3N}(x) < 0 $$ | Asymetria ujemna |
Interpretacja klasycznego współczynnika asymetrii
$A(x) = \frac{\mu_{3} (x)}{S^{3} (x)}$ jest miarą względną, więc jej wartość podaje nam informacje o kierunku i sile.
wartości | interpretacja |
0,00-0,7 | słaba asymetria dodatnia |
0,71-1,4 | umiarkowana asymetria dodatnia |
1,41-2,0 | silnia asymetria dodatnia |
od -0,7 do 0,00 | słaba asymetria ujemna |
od -1,4 do -0,71 | umiarkowana asymetria ujemna |
od -2,0 do -1,41 | silna asymetria ujemna |
Pozycyjne miary asymetrii
Miary pozycyjne | wzór |
“Klasyczno-pozycyjny” wskaźnik skośności (miara absolutna) |
$$W_{s} (x) = \overline{x} – D(x)$$ Gdzie $\overline{x}$ to średnia, $D$ to dominanta. |
Pozycyjny wskaźnik skośności (miara absolutna) | $$Wp(x)=Q_{1} + Q_{2} – 2Me$$ |
“Klasyczno-pozycyjny” współczynnik skośności (miara absolutna) |
$$A_{s} (x) = \frac{\overline{x} – D(x)}{S(x)}$$ Inny wzór: $$A = 3 \cdot \frac{\mu – Me}{s}$$ |
Pozycyjny współczynnik skośności (miara absolutna) |
$$A = \frac{Q_{1}+Q_{3} – 2Me}{2Q}$$ |
Interpretacja wskaźnika skośności i pozycyjnego wskaźnika skośności:
Ponownie – są to miary absolutne, ich znak mówi o kierunku asymetrii, wartość nie mówi nam nic o sile.
Interpretacja współczynnika skośności
$|A_{s} (x)|$ w przedziale:
wartości | interpretacja |
0,00-0,3 | słaba asymetria dodatnia |
0,31-0,6 | umiarkowana asymetria dodatnia |
0,61-1,0 | silnia asymetria dodatnia |
od -0,3 do 0,00 | słaba asymetria ujemna |
od -0,6 do -0,31 | umiarkowana asymetria ujemna |
od -1,0 do -0,61 | silna asymetria ujemna |
Interpretacja pozycyjnego współczynnika skośności
$|A_{p} (x)|$ w przedziale:
wartości | interpretacja |
0,00-0,3 | słaba asymetria dodatnia |
0,31-0,6 | umiarkowana asymetria dodatnia |
0,61-1,0 | silnia asymetria dodatnia |
od -0,3 do 0,00 | słaba asymetria ujemna |
od -0,6 do -0,31 | umiarkowana asymetria ujemna |
od -1,0 do -0,61 | silna asymetria ujemna |