Czym jest asymetria rozkładu?

Wyróżniamy trzy typy asymetrii rozkładu:

Jakie mamy miary asymetrii?

gdzie:

Miary klasyczne (oparte o momenty)

wzór
Trzeci moment centralny $$\mu_{3N}(x) = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_{i}-\overline{x})^{3}}{n}$$ gdzie: $\overline{x}$ – średnia arytmetyczna
Klasyczny współczynnik asymetrii $$A(x) = \frac{\mu_{3}(x)}{S^{3}(x)}$$ gdzie: $S$ – odchylenie standardowe

Przykład

Policzyć trzeci moment centralny i klasyczny współczynnik asymetrii, gdzie:

Liczba wizyt w teatrze $x_{i}$ Liczba studentów $n_{i}$
0 16
1 27
2 25
3 21
4 7
5 4

Najpierw potrzebujemy obliczyć średnią:

$x_{i}$ $n_{i}$ $x_{i} \cdot n_{i}$
0 16 0
1 27 27
2 25 50
3 21 63
4 7 28
5 4 20
$\sum$ 100 188

$$\overline{X} = \frac{188}{100}=1.88$$

Następnie możemy wyliczyć kolejną kolumnę:

$x_{i}$ $n_{i}$ $x_{i} \cdot n_{i}$ $(x_{i}-\overline{x})^{3} \cdot n_{i}$
0 16 0 -106,3148
1 27 27 -18,3997
2 25 50 0,0432
3 21 63 29,5035
4 7 28 66,6969
5 4 20 121,4853
$\sum$ 100 188 93,0144

Zatem:

$$\mu_{3N} (x) = \frac{93,0144}{100} = 0,930144 \approx 0,9301 > 0$$

Więc asymetria jest dodatnia.

Obliczymy teraz współczynnik asymetrii:

$$A(x) = \frac{\mu_{3} (x)}{S^{3} (x)}$$

Potrzebujemy znać odchylenie standardowe s, więc:

$x_{i}$ $n_{i}$ $x_{i} \cdot n_{i}$ $(x_{i}-\overline{x})^{2} \cdot n_{i}$
0 16 0 56,5504
1 27 27 20,9088
2 25 50 0,36
3 21 63 26,3424
4 7 28 31,4608
5 4 20 38,9376
$\sum$ 100 188 174,56

Stąd:

$$s^{2}=\frac{174,56}{100} = 1.7456$$ $$s \approx 1.3212$$

Zatem:

$$A(x) = \frac{0.9301}{1.3212^{3}} \approx 0.4033$$

Co oznacza słabą asymetrię dodatnią.

Asymetrię obrazuje wykres:

Interpretacja trzeciego momentu centralnego

$\mu_{3N} (x)$  jest miarą absolutną, więc mówi nam jedynie o kierunku asymetrii, nie mówi nic o sile.

wzór Interpretacja
$$\mu_{3N}(x) > 0 $$ Asymetria dodatnia
$$\mu_{3N}(x) = 0 $$ Brak asymetrii
$$\mu_{3N}(x) < 0 $$ Asymetria ujemna

Interpretacja klasycznego współczynnika asymetrii

$A(x) = \frac{\mu_{3} (x)}{S^{3} (x)}$ jest miarą względną, więc jej wartość podaje nam informacje o kierunku i sile.

wartości interpretacja
0,00-0,7 słaba asymetria dodatnia
0,71-1,4 umiarkowana asymetria dodatnia
1,41-2,0 silnia asymetria dodatnia
od -0,7 do 0,00 słaba asymetria ujemna
od -1,4 do -0,71 umiarkowana asymetria ujemna
od -2,0 do -1,41 silna asymetria ujemna

Pozycyjne miary asymetrii

Miary pozycyjne wzór
“Klasyczno-pozycyjny” wskaźnik skośności (miara absolutna)

$$W_{s} (x) = \overline{x} – D(x)$$

Gdzie $\overline{x}$ to średnia, $D$ to dominanta.

Pozycyjny wskaźnik skośności (miara absolutna) $$Wp(x)=Q_{1} + Q_{2} – 2Me$$
“Klasyczno-pozycyjny” współczynnik skośności (miara absolutna)

$$A_{s} (x) = \frac{\overline{x} – D(x)}{S(x)}$$

Inny wzór:

$$A = 3 \cdot \frac{\mu – Me}{s}$$

Pozycyjny współczynnik skośności (miara absolutna)

$$A = \frac{Q_{1}+Q_{3} – 2Me}{2Q}$$

Interpretacja wskaźnika skośności i pozycyjnego wskaźnika skośności:

Ponownie – są to miary absolutne, ich znak mówi o kierunku asymetrii, wartość nie mówi nam nic o sile.

Interpretacja współczynnika skośności

$|A_{s} (x)|$ w przedziale:

wartości interpretacja
0,00-0,3 słaba asymetria dodatnia
0,31-0,6 umiarkowana asymetria dodatnia
0,61-1,0 silnia asymetria dodatnia
od -0,3 do 0,00 słaba asymetria ujemna
od -0,6 do -0,31 umiarkowana asymetria ujemna
od -1,0 do -0,61 silna asymetria ujemna

Interpretacja pozycyjnego współczynnika skośności

$|A_{p} (x)|$ w przedziale:

wartości interpretacja
0,00-0,3 słaba asymetria dodatnia
0,31-0,6 umiarkowana asymetria dodatnia
0,61-1,0 silnia asymetria dodatnia
od -0,3 do 0,00 słaba asymetria ujemna
od -0,6 do -0,31 umiarkowana asymetria ujemna
od -1,0 do -0,61 silna asymetria ujemna

 

0