Poniżej umówimy również przedział ufności dla odchylenia standardowego za pomocą dwóch wzorów.

Wzór 1 (dla próby $n \leq 30$)

Poniższy wzór pozwala wyznaczyć przedział ufności dla wariancji w populacji o rozkładzie normalnym $N(m,\sigma)$

$$P\biggl(\frac{n\cdot S^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2},n-1}^{2}}<\sigma^{2}<\frac{n\cdot S^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2},n-1}^{2}}\biggr)=1-\alpha$$

gdzie:

  • $n$ to liczebność próby losowej,
  • $S$ to odchylenie standardowe z próby,
  • $\chi_{1-\frac{\alpha}{2}, n-1}$ i $\chi_{\frac{\alpha}{2},n-1}$ to kwartyle $1-\frac{\alpha}{2}$ i $\frac{\alpha}{2}$ rozkładu Chi-kwadrat o $n-1$ stopniach swobody.

Wariancję z próby obliczamy tak:

$$s^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} – \overline{x})^{2}$$

Wzór:

$$P\biggl(\frac{(n-1)\cdot S^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2},n-1}^{2}}<\sigma^{2}<\frac{(n-1)S\cdot ^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2},n-1}^{2}}\biggr)=1-\alpha$$

Zastosujemy, dla wariancji z próby liczonej tak:

$$s^{2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} – \overline{x})^{2}$$

Przykład

Badano zróżnicowanie czasu potrzebnego na wykonanie oprawy ksiązki w zakładzie introligatorskim. Losowo wybrano 20 zamówień i otrzymano, że średnio czas potrzebny na oprawę książki wyniósł 5 godzin, przy czterogodzinnej wariancji. Zakładamy, że rozkład czas potrzebnego na oprawę jest rozkładem normalnym. Jaki wynik uzyskano, jeżeli przyjęto współczynnik ufności $1-\alpha = 0,90$?
$n = 20$ – mała próba,
$\overline{x} = 5$ godzin,
$S^{2} = 4$,
$1-\alpha = 0,9$.
Wiemy z treści zadania, że to jest rozkład normalny, więc korzystając ze wzoru 1 mamy:

$$P\biggl(\frac{20\cdot 4}{\chi_{\frac{0,1}{2},19}^{2}}<\sigma^{2}<\frac{20\cdot 4}{\chi_{1- \frac{0,1}{2},19}^{2}}\biggr)=0,9$$

Z tablic rozkładu chi-kwadrat znajdujemy:
$$\chi_{0,05;19}^{2} = 30,144$$ $$\chi_{0,95;19}^{2} = 10,117$$Zatem:

$$P\biggl(\frac{80}{30,144}<\sigma^{2}<\frac{80}{10,117}\biggr)=0,9$$

$$P\biggl(2,654<\sigma^{2}<7,907\biggr)=0,9$$ $$\sigma^{2} \in (2,654;7,907)$$ $$\sigma \in (1,629;2,812)$$

Wzór 2 (dla próby $n>30$)

$$P\biggl(\frac{S}{1+\frac{u_{\alpha}}{\sqrt{2n}}}<\sigma<\frac{S}{1-\frac{u_{\alpha}}{\sqrt{2n}}}\biggr)=1-\alpha$$

gdzie:

  • $n$ to liczebność próby losowej,
  • $S$ to odchylenie standardowe z próby,
  • $u_{\alpha}$ to wartość kwantyla $1-\frac{\alpha}{2}$ rozkładu normalnego standaryzowanego dla poziomu istotności $\alpha$

Przykład

Znajdź dwustronny przedział ufności dla nieznanej wartości odchylenia standardowego w populacji $\sigma$, wykorzystując następujące dane:

  • wielkość próby $n=36$,
  • wartość odchylenia standardowego z próby $s=8$.

Proszę przyjąć ufność $1-\alpha = 0,98$. Czy można zaufać wartości 10,54?

Jest to duża liczebność próby, gdyż $n>30$. Zatem korzystamy ze wzoru 2, tzn.:

$$P\biggl(\frac{S}{1+\frac{u_{\alpha}}{\sqrt{2n}}}<\sigma<\frac{S}{1-\frac{u_{\alpha}}{\sqrt{2n}}}\biggr)=1-\alpha$$

gdzie:
$1-\alpha = 0,98$
$s = 8$
$U_{\alpha} = U_{1-\frac{\alpha}{2}} = U_{0,99} = 2,326$
Zatem:

$$P\biggl(\frac{8}{1+\frac{2,326}{\sqrt{2\cdot 36}}}<\sigma<\frac{8}{1-\frac{2,326}{\sqrt{2\cdot 36}}}\biggr)=0,98$$
$$P\biggl(6,279<\sigma<11,021\biggr)=0,98 \ni 10,54$$

Odpowiedź: Można zaufać wartości 10,54.

Jak policzyć przedział ufności dla wariancji?

Wariancja to odchylenie standardowe do kwadratu, więc w obu przypadkach (dla małej i dużej próby) krańce przedziałów wyznaczamy analogicznie.

Badano celność strzelania do celu policjantów pewnego komisariatu. Na 450 oddanych strzałów wyliczano $s^{2} = 16$. Znajdź przedział ufności dla wariancji na poziomie ufności $1-\alpha = 0,98$.
Mamy dane:
$s^{2} = 16$,
$1-\alpha = 0,98$,
$1-\frac{\alpha}{2} = 0,99$,
$U_{0,99} = 2,326$.
Liczebność próby jest duża (powyżej 30), więc korzystamy ze wzoru 2, czyli:

$$P\biggl(\frac{S}{1+\frac{u_{\alpha}}{\sqrt{2n}}}<\sigma<\frac{S}{1-\frac{u_{\alpha}}{\sqrt{2n}}}\biggr)=1-\alpha$$

Zatem:
$$\sigma^{2} \in \biggl(\frac{s^{2}}{(1+\frac{u_{\alpha}}{\sqrt{2n}})^{2}};\frac{s^{2}}{(1-\frac{u_{\alpha}}{\sqrt{2n}})^{2}}\biggr)$$ 

$$\sigma^{2} \in \biggl(\frac{16}{(1+\frac{2,326}{\sqrt{2\cdot 450}})^{2}};\frac{16}{(1-\frac{2,326}{\sqrt{2\cdot 450}})^{2}}\biggr)$$ $$\sigma^{2} \in (14,8487;17,3448)$$

Przykład

Czas montażu bębna w pralce automatycznej jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. Zmierzono czas montażu bębna przez 6 losowo wybranych robotników i otrzymano następujące wyniki (w minutach): 6,2  7,1  6,3  6,9  7,5  7,0. Wyznaczyć realizację przedziału dla odchylenia standardowego czasu montażu (przyjąć $1-\alpha = 0,95$).
Liczebność próby jest mała (poniżej 30), więc korzystamy ze wzoru 1, czyli:
$$\sigma \in \biggl(\sqrt{\frac{nS^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}}}; \sqrt{\frac{nS^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2};n-1}}}\biggr)$$
Dla $n=6$ mamy:

$$\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{6} x_{i}}{n} = \frac{6,2+7,1+6,3+6,9+7,5+7,0}{6} = 6,833$$

$$s^{2} = \frac{(x_{i}-\overline{x})^{2}}{n} = 0,2467$$
Kwantyle chi-kwadrat wynoszą:
$$\chi_{0,975;5}^{2} = 12,8325$$ $$\chi_{0,025;5}^{2} = 0,831$$
Zatem:
$$\sigma \in \biggl(\sqrt{\frac{6 \cdot 0,2467}{12,8325}}; \sqrt{\frac{6 \cdot 0,2467}{0,831}}\biggr)$$
Wobec tego:
$$\sigma \in \biggl( 0,3396;1,3346\biggr)$$

0