Poniżej umówimy również przedział ufności dla odchylenia standardowego za pomocą dwóch wzorów.
Wzór 1 (dla próby $n \leq 30$)
Poniższy wzór pozwala wyznaczyć przedział ufności dla wariancji w populacji o rozkładzie normalnym $N(m,\sigma)$
gdzie:
- $n$ to liczebność próby losowej,
- $S$ to odchylenie standardowe z próby,
- $\chi_{1-\frac{\alpha}{2}, n-1}$ i $\chi_{\frac{\alpha}{2},n-1}$ to kwartyle $1-\frac{\alpha}{2}$ i $\frac{\alpha}{2}$ rozkładu Chi-kwadrat o $n-1$ stopniach swobody.
Wariancję z próby obliczamy tak:
$$s^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} – \overline{x})^{2}$$
Wzór:
Zastosujemy, dla wariancji z próby liczonej tak:
$$s^{2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_{i} – \overline{x})^{2}$$
Przykład
$\overline{x} = 5$ godzin,
$S^{2} = 4$,
$1-\alpha = 0,9$.
Wiemy z treści zadania, że to jest rozkład normalny, więc korzystając ze wzoru 1 mamy:
Z tablic rozkładu chi-kwadrat znajdujemy:
$$\chi_{0,05;19}^{2} = 30,144$$ $$\chi_{0,95;19}^{2} = 10,117$$Zatem:
$$P\biggl(2,654<\sigma^{2}<7,907\biggr)=0,9$$ $$\sigma^{2} \in (2,654;7,907)$$ $$\sigma \in (1,629;2,812)$$
Wzór 2 (dla próby $n>30$)
gdzie:
- $n$ to liczebność próby losowej,
- $S$ to odchylenie standardowe z próby,
- $u_{\alpha}$ to wartość kwantyla $1-\frac{\alpha}{2}$ rozkładu normalnego standaryzowanego dla poziomu istotności $\alpha$
Przykład
Znajdź dwustronny przedział ufności dla nieznanej wartości odchylenia standardowego w populacji $\sigma$, wykorzystując następujące dane:
- wielkość próby $n=36$,
- wartość odchylenia standardowego z próby $s=8$.
Proszę przyjąć ufność $1-\alpha = 0,98$. Czy można zaufać wartości 10,54?
gdzie:
$1-\alpha = 0,98$
$s = 8$
$U_{\alpha} = U_{1-\frac{\alpha}{2}} = U_{0,99} = 2,326$
Zatem:
Odpowiedź: Można zaufać wartości 10,54.
Jak policzyć przedział ufności dla wariancji?
Wariancja to odchylenie standardowe do kwadratu, więc w obu przypadkach (dla małej i dużej próby) krańce przedziałów wyznaczamy analogicznie.
$s^{2} = 16$,
$1-\alpha = 0,98$,
$1-\frac{\alpha}{2} = 0,99$,
$U_{0,99} = 2,326$.
Liczebność próby jest duża (powyżej 30), więc korzystamy ze wzoru 2, czyli:
Zatem:
$$\sigma^{2} \in \biggl(\frac{s^{2}}{(1+\frac{u_{\alpha}}{\sqrt{2n}})^{2}};\frac{s^{2}}{(1-\frac{u_{\alpha}}{\sqrt{2n}})^{2}}\biggr)$$
Przykład
$$\sigma \in \biggl(\sqrt{\frac{nS^{2}}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2};n-1}}}; \sqrt{\frac{nS^{2}}{\chi_{\frac{\alpha}{2};n-1}}}\biggr)$$
Dla $n=6$ mamy:
$$s^{2} = \frac{(x_{i}-\overline{x})^{2}}{n} = 0,2467$$
Kwantyle chi-kwadrat wynoszą:
$$\chi_{0,975;5}^{2} = 12,8325$$ $$\chi_{0,025;5}^{2} = 0,831$$
Zatem:
$$\sigma \in \biggl(\sqrt{\frac{6 \cdot 0,2467}{12,8325}}; \sqrt{\frac{6 \cdot 0,2467}{0,831}}\biggr)$$
Wobec tego:
$$\sigma \in \biggl( 0,3396;1,3346\biggr)$$