Rozkład Poissona wykorzystujemy gdy zachodzą warunki:

  • duża liczba niezależnych doświadczeń
  • prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesu w każdym przypadku jest jednakowe i małe np.$(p=0.01$)
  • X podlegająca temu rozkładowi określona jest jako liczba sukcesów w n eksperymentach
Rozkład Bernoulliego a Poissona
Uwaga Rozkład Poissona stosujemy, gdy mamy „duże n i małe p” w zadaniach z rozkładem dwumianowym (zwanym też Bernoulliego) i obliczenia są zbyt niewygodne.
X – zmienna losowa o rozkładzie Poissona o dodatnim parametrze $\lambda$ – $X\sim P(\lambda)$, $\lambda>0$,$\lambda=n \cdot p$
1.Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
$$P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}, k\in N_0$$
2.Dystrybuanta rozkładu Poissona
$$F(x)=\sum_{k\le x}e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}, k\in N_0$$
3.Wartość oczekiwana
$$EX=\lambda$$
4.Wariancja
$$Var(X)=\lambda$$

Rozkład Poissona – przykładowe zadania

Przykład
W pewnym hipermarkecie zatrudnionych jest 90 pracowników. Prawdopodobieństwo że pracownik się spóźni danego dnia wynosi p=0.03.
a) Podać wartość oczekiwana i odchylenie standardowe liczby pracowników, którzy w losowo wybranym miesiącu spóźnili się do pracy.
b) Jakie jest prawdopodobieństwo,że w losowo wybranym miesiącu do pracy spóźniło się:

  • 2 pracowników
  • więcej niż 3 pracowników
  • nie więcej niż 4 pracowników
Rozwiązanie
a) $EX=\lambda =n\cdot p=90 \cdot 0.03=2.7$ – wartość oczekiwana
$s=\sqrt{npq}=\sqrt{90\cdot 0.03 \cdot 0.97}=1.618$ – odchylenie standardowe

b)

  • Spóźniło się 2 pracowników do pracy

Wykorzystamy wzór $P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$

Z poprzedniego punktu wiemy, że $\lambda =2.7$, chcemy obliczyć prawdopodobieństwo $k=2$ sukcesów
$P(X=2)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}=\frac{e^{-2.7}\cdot 2.7^2}{2!}=0.245$

  • Spóźniło się więcej niż 3 pracowników do pracy

$P(X>3)=1-P(X\le 3)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$
$+P(X=3))=1-e^{-2.7}(\frac{2.7^0}{0!}+\frac{2.7^1}{1!}+\frac{2.7^2}{2!}+\frac{2.7^3}{3!})=0.286$

  • Spóźniło się nie więcej niż 4 pracowników do pracy

$P(X\leq 4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$
$+P(X=4)=e^{-2.7}(\frac{2.7^0}{0!}+\frac{2.7^1}{1!}+\frac{2.7^2}{2!}+\frac{2.7^3}{3!}+\frac{2.7^4}{4!})=0.863$

Przykład
Daltonizm stwierdza się u 1% mężczyzn. Oblicz prawdopodobieństwo, że w próbie liczącej n=100 mężczyzn
a) nie będzie ani jednego daltonisty,
b) będzie co najmniej trzech.
Rozwiązanie
Mamy $n=100$, $p=0,01$
a) Będzie 0 daltonistów
$P(X=0)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}=\frac{1}{0!}\cdot e^{-1}=0,37$

b) Będzie co najmniej trzech daltonistów
$P(X\ge 3)=1-P(X>3)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))$
Liczymy $P(X=0)=\frac{1}{0!}e^{-1}=0.37$, $P(X=1)=\frac{1}{1!}e^{-1}=0.37$, $P(X=2)=\frac{1}{2!}e^{-1}=0.18$
Podstawiamy $P(X\ge 3)=1-(0.37+0.37+0.18)=0.08$
Powyższe dwa zadania moglibyśmy rozwiązać wykorzystują rozkład dwumianowy (Bernoulliego), ale byłoby to niewygodne obliczeniowo.
Przykład
Niech $\xi$ będzie zmienną losową o rozkładzie Poissona takim, że $P(\xi \le 1)=\frac{8}{9}P(\xi=2)$.Oblicz $E\xi $
Rozwiązanie
$\xi \sim P(\lambda)$ – zmienna Epsilon (równie dobrze mogła by być zmienna X – profesor na tym egzaminie miał swoj ulubiony zapis) ma rozkład Poissona z parametrem lambda. Musimy policzyć lambda. (czyli wartość oczekiwaną $E\xi $ naszej zmiennej $\xi $).

Wzór: $P(\xi =k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$

Równanie z polecenia: $P(\xi \le 1)=\frac{8}{9}P(\xi=2)$

Podstawiamy ze wzoru: $P(\xi \le 1)=P(\xi =0)+P(\xi =1)$
$P(\xi =0)+P(\xi =1)=\frac{8}{9}P(\xi=2)$
Czyli $\frac{\lambda^0}{0!}e^{-\lambda} +\frac{\lambda^1}{1!}e^{-\lambda}=\frac{8}{9} \cdot\frac{\lambda^2}{2!}e^{-\lambda}$ – w tym równaniu szukamy nieznanej wartości $\lambda$

Dzielimy przez $e^{-\lambda}$, dostajemy równanie kwadratowe

$1+\lambda=\frac{8}{9}\cdot \frac{\lambda^2}{2} |\cdot 18$
$18+18\lambda=8\lambda^2$
$4\lambda^2-9\lambda-9=0$
$\Delta=81-4\cdot 4 \cdot (-9)=225$
$\sqrt \Delta=15$
$\lambda_1=-\frac{3}{4}$,$\lambda_2=3$
$\lambda$ musi być dodatnia $\lambda>0$ ,więc jedynym poprawnym rozwiązaniem równanie jest
$\lambda=3$

Odp:  $E\xi = \lambda =3$

0