Hipoteza dla odsetka pozwala nam sprawdzić na podstawie badanej próby czy prawdziwość pewnego założenia o odsetku w populacji (zwanym również proporcją, wskaźnikiem struktury lub frakcją) jest prawdą (np. czy odsetek osób palących jest większy niż 40%).
W tym teście mamy tylko 1 wzór i będziemy korzystać z tablic rozkładu normalnego.
Krok 1
- Wypisujemy wszystkie dane, $m$ – liczebność odsetka, $n$- liczebność całej próby.
- Zapisujemy poziom istotności $\alpha$.
- Wybieramy test i zapisujemy: hipotezę zerową (np. $H_{0}:p=0,4$) oraz hipotezę alternatywną (jeden z wariantów: hipoteza dwustronna, prawostronna, lewostronna).
$$H_{1}:p\neq 0,4$$
$$H_{1}:p>0,4$$
$$H_{1}:p<0,4$$
Krok 2
Zapisujemy wzór statystyki testowej a następnie podstawiamy dane i obliczamy ją.
$$\LARGE{z=\frac{p-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}\cdot q_{0}}{n}}}}$$
Krok 3
Wyznaczamy wartość krytyczną i obszar krytyczny testu. Na tym etapie będziemy musieli odczytać odpowiednią wartość z tablic rozkładu normalnego.
- Dla $1-\frac{\alpha}{2}$ – dla testu dwustronnego.
- Dla $1-\alpha$ – dla testu lewostronnego lub prawostronnego.
Następnie wyznaczamy obszar krytyczny:
- Dla testu dwustronnego:
$w_{k}$ dla $1-\frac{\alpha}{2}$
$K=(-\infty,-w_{k}\rangle\cup \langle w_{k},+\infty)$ - Dla testu prawostronnego:
$w_{k}$ dla $1-\alpha$
$K=\langle w_{k},+\infty)$ - Dla testu lewostronnego:
$w_{k}$ dla $1-\alpha$
$K=(-\infty,-w_{k}\rangle$
Krok 4
Jeżeli statystyka testowa (z kroku 2) należy do obszaru krytycznego (z kroku 3) to odrzucamy hipotezę zerową i przyjmujemy hipotezę alternatywną.
Jeżeli statystyka testowa nie należy do obszaru krytycznego to nie odrzucamy hipotezy zerowej.
Na końcu piszemy również wniosek merytoryczny dotyczący treści polecenia.
Przykłady
Przykład 1: Zbadano $n=140$ wylosowanych gospodarstw domowych w pewnym mieście ze względu na wysokość miesięcznych opłat za energię elektryczną. Spośród nich 84 gospodarstwa domowe płaciły miesięcznie za energię co najmniej 80 zł. Czy na poziomie istotności $\alpha=0,05$ można stwierdzić, że $\%$ gospodarstw domowych, których miesięczne opłaty za energię elektryczną wynosiły co najmniej 80 zł jest mniejszy niż $70\%$?
Rozwiązanie:
Krok 1
Wypisujemy wszystkie dane:
$m=84$ – liczebność odsetka
$n=140$ – liczebność całej próby
$$p=\frac{m}{n}=\frac{84}{140}=0,6$$
Zapisujemy poziom istotności $\alpha=0.05$.
Wybieramy test i zapisujemy: hipotezę zerową oraz hipotezę alternatywną lewostronną (gdyż w treści polecenia mamy zbadać “czy $\%$ gospodarstw (…) jest mniejszy niż $70\%$”)
$$H_{0}:p_{0}=0,7$$
$$H_{1}:p_{0}\neq 0,7$$
Krok 2
Zapisujemy wzór statystyki testowej, a następnie podstawiamy dane i obliczamy ją.
$$z=\frac{p-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}\cdot q_{0}}{n}}}=\frac{0,6-0,7}{\sqrt{\frac{0,7\cdot (1-0,7)}{140}}}=-2,582$$
Krok 3
Wyznaczamy wartość krytyczną i obszar krytyczny testu dla hipotezy alternatywnej lewostronnej. Następnie odczytujemy odpowiednią wartość z tablic rozkładu normalnego.
Dla testu lewostronnego:
$w_{k}$ dla $1-\alpha$
$K=(-\infty,-w_{k}\rangle$
$w_k$ to wartość kwantyla rozkładu normalnego o wartości $1-\alpha=0,95$.
Z tablic odczytujemy:
$$w_{k}=U(1-\alpha)=U(0,95)=1,645$$
A więc obszar krytyczny ma postać:
$$K=(-\infty;-1,645\rangle$$
Krok 4
$$z=-2,582\in (-\infty;-1,645\rangle$$
Statystyka testowa (z kroku 2) należy do obszaru krytycznego (z kroku 3) więc odrzucamy hipotezę zerową i przyjmujemy hipotezę alternatywną.
Na końcu piszemy również wniosek merytoryczny dotyczący treści polecenia: odsetek interesujących nas gospodarstw jest istotnie niższy od $70\%$.
Krok 1
Wypisujemy wszystkie dane:
$m=84$ – liczebność odsetka
$n=140$ – liczebność całej próby
$$p=\frac{m}{n}=\frac{84}{140}=0,6$$
Zapisujemy poziom istotności $\alpha=0.05$.
Wybieramy test i zapisujemy: hipotezę zerową oraz hipotezę alternatywną lewostronną (gdyż w treści polecenia mamy zbadać “czy $\%$ gospodarstw (…) jest mniejszy niż $70\%$”)
$$H_{0}:p_{0}=0,7$$
$$H_{1}:p_{0}\neq 0,7$$
Krok 2
Zapisujemy wzór statystyki testowej, a następnie podstawiamy dane i obliczamy ją.
$$z=\frac{p-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}\cdot q_{0}}{n}}}=\frac{0,6-0,7}{\sqrt{\frac{0,7\cdot (1-0,7)}{140}}}=-2,582$$
Krok 3
Wyznaczamy wartość krytyczną i obszar krytyczny testu dla hipotezy alternatywnej lewostronnej. Następnie odczytujemy odpowiednią wartość z tablic rozkładu normalnego.
Dla testu lewostronnego:
$w_{k}$ dla $1-\alpha$
$K=(-\infty,-w_{k}\rangle$
$w_k$ to wartość kwantyla rozkładu normalnego o wartości $1-\alpha=0,95$.
Z tablic odczytujemy:
$$w_{k}=U(1-\alpha)=U(0,95)=1,645$$
A więc obszar krytyczny ma postać:
$$K=(-\infty;-1,645\rangle$$
Krok 4
$$z=-2,582\in (-\infty;-1,645\rangle$$
Statystyka testowa (z kroku 2) należy do obszaru krytycznego (z kroku 3) więc odrzucamy hipotezę zerową i przyjmujemy hipotezę alternatywną.
Na końcu piszemy również wniosek merytoryczny dotyczący treści polecenia: odsetek interesujących nas gospodarstw jest istotnie niższy od $70\%$.
Przykład 2: W losowej próbie 500 mieszkańców pewnego rejonu będących w wieku produkcyjnym znalazło się 126 bezrobotnych. Czy na poziomie istotności 0,05 można stwierdzić, że stopa bezrobocia w tym rejonie jest większa od $20\%$?
Rozwiązanie:
Krok 1
Wypisujemy dane:
$m=126$ – liczebność odsetka
$n=500$ – liczebność całej próby
$\alpha=0,05$ – poziom istotności
$$p=\frac{m}{n}=\frac{126}{500}=0,252$$
Zapisujemy hipotezę zerową oraz hipotezę alternatywną prawostronną:
$$H_{0}:p_{0}=0,2$$
$$H_{1}:p_{0}>0,2$$
Krok 2
$$z=\frac{p-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}\cdot q_{0}}{n}}}=\frac{0,252-0,2}{\sqrt{\frac{0,252(1-0,252)}{500}}}=2,678$$
Krok 3
Wartość krytyczna:
$$w_{k}=w_{1-\alpha}=w_{0,95}=1,645$$
Obszar krytyczny:
$$K=\langle 1,645;+\infty)$$
Krok 4
$$z=2,678\in\langle 1,645;+\infty)$$
Obliczona statystyka testowa należy do obszaru krytycznego, więc odrzucamy $H_{0}$ i przyjmujemy $H_{1}$. Proporcja jest istotnie wyższa niż $20\%$.
Krok 1
Wypisujemy dane:
$m=126$ – liczebność odsetka
$n=500$ – liczebność całej próby
$\alpha=0,05$ – poziom istotności
$$p=\frac{m}{n}=\frac{126}{500}=0,252$$
Zapisujemy hipotezę zerową oraz hipotezę alternatywną prawostronną:
$$H_{0}:p_{0}=0,2$$
$$H_{1}:p_{0}>0,2$$
Krok 2
$$z=\frac{p-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}\cdot q_{0}}{n}}}=\frac{0,252-0,2}{\sqrt{\frac{0,252(1-0,252)}{500}}}=2,678$$
Krok 3
Wartość krytyczna:
$$w_{k}=w_{1-\alpha}=w_{0,95}=1,645$$
Obszar krytyczny:
$$K=\langle 1,645;+\infty)$$
Krok 4
$$z=2,678\in\langle 1,645;+\infty)$$
Obliczona statystyka testowa należy do obszaru krytycznego, więc odrzucamy $H_{0}$ i przyjmujemy $H_{1}$. Proporcja jest istotnie wyższa niż $20\%$.
Przykład 3: Wylosowano 140 studentów Wyższej Szkoły Malarstwa Ulicznego. Okazało się, że 112 z nich zdało egzamin z Malowania Wroga Publicznego. Przy istotności $\alpha=0,07$ sprawdź hipotezę, że średnio $73\%$ studentów zdaje ten egzamin.
Rozwiązanie:
Krok 1
Wypisujemy dane:
$m=112$ – liczebność odsetka
$n=140$ – liczebność całej próby
$\alpha=0,07$ – poziom istotności
$$p=\frac{m}{n}=\frac{112}{140}=0,8$$
Zapisujemy hipotezę zerową oraz hipotezę alternatywną dwustronną:
$$H_{0}:p_{0}=0,73$$
$$H_{1}:p_{0}\neq 0,73$$
Krok 2
$$z=\frac{p-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}\cdot q_{0}}{n}}}=\frac{0,8-0,73}{\sqrt{\frac{0,73(1-0,73)}{140}}}=1,8656$$
Krok 3
Wartość krytyczna:
$$w_{k}=w_{1-\frac{\alpha}{2}}=w_{1-\frac{0,07}{2}}=1,812$$
Obszar krytyczny:
$$K=(-\infty;-1,812\rangle \cup \langle 1,812;+\infty)$$
Krok 4
$$z=1,8656\in(-\infty;-1,812\rangle \cup \langle 1,812;+\infty)$$
Obliczona statystyka testowa należy do obszaru krytycznego, więc odrzucamy hipotezę zerową $H_{0}$ na rzecz hipotezy alternatywnej $H_{1}$. Proporcja studentów zdających egzamin jest istotnie różna od $73\%$.
Krok 1
Wypisujemy dane:
$m=112$ – liczebność odsetka
$n=140$ – liczebność całej próby
$\alpha=0,07$ – poziom istotności
$$p=\frac{m}{n}=\frac{112}{140}=0,8$$
Zapisujemy hipotezę zerową oraz hipotezę alternatywną dwustronną:
$$H_{0}:p_{0}=0,73$$
$$H_{1}:p_{0}\neq 0,73$$
Krok 2
$$z=\frac{p-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}\cdot q_{0}}{n}}}=\frac{0,8-0,73}{\sqrt{\frac{0,73(1-0,73)}{140}}}=1,8656$$
Krok 3
Wartość krytyczna:
$$w_{k}=w_{1-\frac{\alpha}{2}}=w_{1-\frac{0,07}{2}}=1,812$$
Obszar krytyczny:
$$K=(-\infty;-1,812\rangle \cup \langle 1,812;+\infty)$$
Krok 4
$$z=1,8656\in(-\infty;-1,812\rangle \cup \langle 1,812;+\infty)$$
Obliczona statystyka testowa należy do obszaru krytycznego, więc odrzucamy hipotezę zerową $H_{0}$ na rzecz hipotezy alternatywnej $H_{1}$. Proporcja studentów zdających egzamin jest istotnie różna od $73\%$.
Bibliografia:
- Greń Jerzy, Statystyka matematyczna: Modele i zadania, Wyd. 4, Warszawa, PWN, 1974
0
