Typowy obszar zmienności mówi nam o tym jakie wartości typowo przyjmuje dana cecha.

Wyróżniamy dwa rodzaje typowego obszaru zmienności:

  • klasyczny $X_{typ}\in(\overline{X}-s,\overline{X}+s)$
  • pozycyjny $X_{typ}\in(Me-Q,Me+Q)$

Typowy obszar zmienności klasyczny

Typowy obszar zmienności klasyczny wyznaczamy ze wzoru:

$$X_{typ}\in(\overline{X}-s,\overline{X}+s)$$

gdzie $\overline{X}$ to średnia, zaś $s$ jest odchyleniem standardowym.

Uwaga Na ogół około 67% $(\frac{2}{3})$ wszystkich obserwacji przyjmuje wartości z tego obszaru.

Dodatkowo średnią liczymy w następujący sposób:

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$$

gdzie $X_{i}$ oznacza wartość i-tej obserwacji, a $n$ – ilość prób.

Zaś odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji i mówi o tym, o ile średnio odchylają się wartości badanej cechy. Wzór na odchylenie standardowe jest następujący:

$$s=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2}}$$

Przykład 1 Średnie roczne zyski 4 firm zostały poddane analizie statystycznej. W wyniku czego otrzymano następujące wyniki pewnych statystyk opisowych: $n=4, \hspace{0,25cm} \overline{X}=41787,$$Me=43500, \hspace{0,25cm} Q_{1}=37000,\hspace{0,25cm} Q_{3}=45500, \hspace{0,25cm}s=9564$. Wyznacz typowy obszar zmienności klasyczny.
Najpierw wybierzemy te statystyki, które są nam potrzebne, czyli średnią oraz odchylenie standardowe:
$$\overline{X}=41787$$
$$s=9564$$
Teraz korzystamy ze wzoru na typowy obszar zmienności klasyczny i podstawiamy dane:
$$X_{typ}\in(\overline{X}-s,\overline{X}+s)$$
$$X_{typ}\in(41787-9564,41787+9564)$$
Zatem otrzymujemy, że
$$X_{typ}\in(32223,51351)$$

Typowy obszar zmienności pozycyjny

Natomiast typowy obszar zmienności pozycyjny wyznaczamy ze wzoru

$$X_{typ}\in(Me-Q,Me+Q)$$

gdzie Me to mediana, zaś Q jest odchyleniem ćwiartkowym.

Mediana jest wartością środkową zbioru, obliczamy ją ze wzoru
$Me=X_{\frac{n+1}{2}}$, gdy $n$ jest nieparzyste lub $Me=\frac{1}{2}(X_{\frac{n}{2}}+X_{\frac{n}{2}+1})$ , gdy $n$ jest parzyste.

Zaś odchylenie ćwiartkowe wyznaczamy z następującego wzoru:
$$Q=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2}$$
gdzie $Q_{3}$ jest trzecim kwartylem, zaś $Q_{1}$ jest pierwszym kwartylem.

Przykład 2 Średnie miesięczne zyski 3 firm zostały poddane analizie statystycznej. W wyniku czego otrzymano następujące wyniki pewnych statystyk opisowych: $n=3, \hspace{0,25cm}\overline{X}=11657,$$Me=13550,\hspace{0,25cm}Q_{1}=7550,\hspace{0,25cm}Q_{3}=14500,\hspace{0,25cm}s=2354$. Wyznacz typowy obszar zmienności pozycyjny.
Najpierw wybierzemy te statystyki, które są nam potrzebne, czyli medianę, kwartyl pierwszy i kwartyl trzeci:
$$Me=13550$$
$$Q_{1}=7550$$
$$Q_{3}=14500$$
Musimy wyznaczyć odchylenie ćwiartkowe, zatem korzystamy ze wzoru:
$$Q=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2}$$
$$Q=\frac{14500-7550}{2}$$
$$Q=3475$$
Teraz wykorzystamy wzór na typowy obszar zmienności pozycyjny i podstawiamy dane:
$$X_{typ}\in(Me-Q,Me+Q)$$
$$X_{typ}\in(13550-3475,13550+3475)$$
Zatem otrzymujemy, że
$$X_{typ}\in(10075,17025)$$
0