Polecenie:
Iloczyn trzech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $a_n$ jest równy $729$. Jaki jest drugi wyraz tego ciągu ?
Iloczyn trzech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $a_n$ jest równy $729$. Jaki jest drugi wyraz tego ciągu ?
Z treści wiemy, że iloczyn trzech początkowych wyrazów ciągu wynosi 729, więc :
$a_1\cdot a_2\cdot a_3=729$
[tablice]
Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek:
${a_n}^2=a_{n-1}\cdot{a_{n+1}}$ dla $n\geq2$
Objaśnienie:
$a_n$ to wyraz ogólny ciągu geometrycznego, na który wzór znajdziesz oczywiście w tablicach maturalnych :
[tablice]
Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego ($a_n$) o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie q:
$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ dla $n\geq2$
$a_{n-1}$ to wyraz poprzedzający wyraz $a_n$, a $a_{n+1}$ to wyraz kolejny.
Na przykład: mamy następujący ciąg liczbowy: 2, 4, 8, 16…Trzecim wyrazem tego ciągu jest $a_3=8$. Wówczas naszym wyrazem poprzedzającym, czyli $a_{n-1}=a_{3-1}=a_2$ będzie $a_2=4$, a $a_n+1$, czyli wyrazem kolejnym, będzie $a_{3+1}=a_4=16$.
W zadaniu daną mamy informację o pierwszym, drugim i trzecim wyrazie ciągu tj.
$a_1\cdot a_2\cdot a_3=729$.
Stosując wzór z tablic maturalnych dla $n=2$ (wybieramy środkowy wyraz, czyli drugi) mamy:
$a_2^2=a_1\cdot{a_3}$ mnożąc obustronnie przez $a_2$ otrzymujemy:
$a_2^3=a_1\cdot{a_2}\cdot{a_3}$, a to jak jest dane w zadaniu wynosi $729$, zatem
$a_2^3=729$
$a_2=\sqrt[3]{729}$
$a_2=9$