Iloczyn trzech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $a_n$ jest równy $729$. Jaki jest drugi wyraz tego ciągu ?

Matura

Polecenie:

Iloczyn trzech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $a_n$  jest równy $729$. Jaki jest drugi wyraz tego ciągu ?

Rozwiązanie:

Z treści wiemy, że iloczyn trzech początkowych wyrazów ciągu wynosi 729, więc :

$a_1\cdot a_2\cdot a_3=729$

[tablice]

Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek:

${a_n}^2=a_{n-1}\cdot{a_{n+1}}$ dla $n\geq2$

Objaśnienie:

$a_n$ to wyraz  ogólny ciągu geometrycznego, na który wzór znajdziesz oczywiście w tablicach maturalnych :

[tablice]

  • Ciąg geometryczny

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego ($a_n$) o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie q:     

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$  dla $n\geq2$

$a_{n-1}$ to wyraz poprzedzający wyraz $a_n$, a $a_{n+1}$ to wyraz kolejny.

Na przykład: mamy następujący ciąg liczbowy: 2, 4, 8, 16…Trzecim wyrazem tego ciągu jest $a_3=8$. Wówczas naszym wyrazem poprzedzającym, czyli $a_{n-1}=a_{3-1}=a_2$ będzie $a_2=4$, a $a_n+1$, czyli wyrazem kolejnym, będzie $a_{3+1}=a_4=16$.

W zadaniu daną mamy informację o pierwszym, drugim i trzecim wyrazie ciągu tj.

$a_1\cdot a_2\cdot a_3=729$.

Stosując wzór z tablic maturalnych dla $n=2$ (wybieramy środkowy wyraz, czyli drugi) mamy:

$a_2^2=a_1\cdot{a_3}$ mnożąc obustronnie przez $a_2$ otrzymujemy:

$a_2^3=a_1\cdot{a_2}\cdot{a_3}$, a to jak jest dane w zadaniu wynosi $729$, zatem

$a_2^3=729$

$a_2=\sqrt[3]{729}$

$a_2=9$

 

29+