Oblicz iloraz ciągu geometrycznego wiedząc, że $a_1=6$ i $a_5=\frac{2}{27}$.

Aby znaleźć iloraz ciągu geometrycznego musimy znać wzór na wyraz ogólny. W tym z pomocą przychodzą nam tablice.

[tablice]

• Ciąg geometryczny

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego ($a_n$) o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie q:     

$a_n={a_1}\cdot q^{n-1}$  dla $n\geq2$

Korzystając z tego wzoru wyznaczmy sobie wzór na piąty wyraz ciągu, a więc za n podstawiamy 5 :

$a_5=a_1\cdot q^{5-1}=a_1\cdot q^4$

Z faktu, że $a_1=6$, a $a_5=\frac{2}{27}$  otrzymujemy :

$\frac{2}{27}=6\cdot q^4$

Widzimy, że $q$ podniesione jest do parzystej potęgi, zatem otrzymamy dwa rozwiązania jedno dodatnie i jedno ujemne ( np : $4=2^2$, ale też $4=(-2)^2$ ). Dzieląc obustronnie przez 6 otrzymujemy:

$q^4=\frac{\frac{2}{27}}{6}$

$q^4=\frac{2}{27}\cdot\frac{1}{6}$

$q^4=\frac{1}{81}$

$q=\sqrt[4]{\frac{1}{81}} $

Aby spierwiastkować taką liczbę najlepiej rozłóż ją na czynniki pierwsze : $81=3*3*3*3$

Zatem mamy dwa rozwiązania: $q=\frac{1}{3} \vee q=-\frac{1}{3}$

Maria Białoskórska