Oblicz liczbę n wyrazów ciągu geometrycznego wiedząc, że: $a_1=0,5$, $q=0,5$, $a_n=\frac{1}{4096}$

Matura Poziom rozszerzony Poziom podstawowy

Polecenie:

Oblicz liczbę n wyrazów ciągu geometrycznego wiedząc, że: $a_1=0,5$, $q=0,5$, $a_n=\frac{1}{4096}$

Rozwiązanie:

Aby obliczyć liczbę n będziemy potrzebowali wzoru na postać ogólna n-tego wyrazu ciągu geometrycznego, który znajduje się w tablicach maturalnych.

[tablice]

zdjecie

Podstawiając nasze dane otrzymujemy:

$\frac{1}{4096}=0,5\cdot0,5^{n-1}$

korzystając z własności działań na potęgach, które również znajdują się w tablicach :

[tablice]

zdjecie

mamy :

$\frac{1}{4096}=0,5^1\cdot 0,5^{n-1}$

$\frac{1}{4096}=0,5^{1+n-1}$

$\frac{1}{4096}=0,5^n$

Aby znaleźć liczbę n spróbujemy zmienić liczny po obu stronach równości na potęgi o tych samych podstawach. Z tego, że $4096=2^{12}$ mamy:

$(\frac{1}{2})^{12}=(\frac{1}{2})^n$

teraz już łatwo można zauważyć, że szukana liczba n=12.

0