Polecenie:
Oblicz liczbę n wyrazów ciągu geometrycznego wiedząc, że: $a_1=0,5$, $q=0,5$, $a_n=\frac{1}{4096}$
Oblicz liczbę n wyrazów ciągu geometrycznego wiedząc, że: $a_1=0,5$, $q=0,5$, $a_n=\frac{1}{4096}$
Aby obliczyć liczbę n będziemy potrzebowali wzoru na postać ogólna n-tego wyrazu ciągu geometrycznego, który znajduje się w tablicach maturalnych.
[tablice]
zdjecie
Podstawiając nasze dane otrzymujemy:
$\frac{1}{4096}=0,5\cdot0,5^{n-1}$
korzystając z własności działań na potęgach, które również znajdują się w tablicach :
[tablice]
zdjecie
mamy :
$\frac{1}{4096}=0,5^1\cdot 0,5^{n-1}$
$\frac{1}{4096}=0,5^{1+n-1}$
$\frac{1}{4096}=0,5^n$
Aby znaleźć liczbę n spróbujemy zmienić liczny po obu stronach równości na potęgi o tych samych podstawach. Z tego, że $4096=2^{12}$ mamy:
$(\frac{1}{2})^{12}=(\frac{1}{2})^n$
teraz już łatwo można zauważyć, że szukana liczba n=12.