Wyznacz ciąg geometryczny mając dane : $a_3=9$, $a_5=81$

Co to znaczy wyznaczyć ciąg geometryczny ?

Wyznaczyć ciąg geometryczny to znaczy znaleźć jego pierwszy wyraz $a_1$, oraz jego iloraz q.

Do rozwiązania tego zadania potrzebny będzie nam wzór na ogólną postać wyrazu ciągu geometrycznego, który znajduje się w tablicach :

TEGO NIE MUSISZ WKUWAĆ

obraz

Podstawmy, więc do wzoru nasze dane :

$\left\{\begin{array}{l}a_3=a_1\cdot q^{3-1}\\a_5=a_1\cdot q^{5-1}\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}9=a_1\cdot q^2\\81=a_1\cdot q^4\end{array}\right.$

Wyznaczmy z pierwszego równania wyraz $a_1=\frac{9}{q^2}$ i wstawmy do drugiego równania:

$81=\frac{9}{q^2}\cdot q^4$

korzystając z własności działań na potęgach, które też znajdziesz w tablicach

otrzymujemy :

$81=9\cdot q^2$ $/:9$

$q^2=9$

$q=3 \vee q=-3$, ponieważ wykładnik potęgi jest liczbą parzystą otrzymujemy dwa rozwiązania.

Mamy już iloraz ciągu, ale nadal brakuje nam wyrazu pierwszego. Musimy rozważyć dwa przypadki ze względu na dwa różne ilorazy.

Przypadek 1

$q=3$

$a_1=\frac9{q^2}=\frac9{3^2}=9/9=1$

Przypadek 2

$q=-3$

$a_1=\frac9{q^2}=\frac9{(-3)^2}=9/9=1$

Wyznaczyliśmy już  $a_1=1$, oraz $q=-3,3$. Zatem $a_n=1\cdot{3}^{n-1}$ lub $a_n=1\cdot(-3)^{n-1}$.

Maria Białoskórska