Wyznacz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego wiedząc, że $q=5$,$a_7=125$.

Matura Poziom rozszerzony Poziom podstawowy

Polecenie:

Wyznacz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego wiedząc, że $q=5$, $a_7=125$.

Rozwiązanie:

 

Aby wyznaczyć pierwszy wyraz ciągu potrzebny jest nam wzór na postać ogólną ciągu geometrycznego, który znajdziesz w tablicach maturalnych.

[tablice]

(obraz)

Wyznaczmy wzór na siódmy wyraz ciągu, korzystając z powyższego wzoru i podstawmy dane z zadania:

$a_7=a_1\cdot q^{7-1}$

$125=a_1\cdot 5^{7-1}$

$125=a_1\cdot 5^6$

$a_1=\frac{125}{5^6}$

W tym miejscu możemy mieć mały problem z obliczeniem tego bez kalkulatora, ale jeśli zastosujemy trik ze sprowadzeniem licznika i mianownika do potęgi o tej samej podstawie znacznie uprości nam to obliczenia, a więc :

$5^3=125$

$a_1=\frac{5^3}{5^6}$

$a_1=5^{3-6}$

$a_1=5^{-3}$

$a_1=\frac{1}{5^3}$, a jak już ustaliliśmy $5^3=125$, zatem:

$a_1=\frac{1}{125}$

Spokojnie działania na potęgach również zawarte są w tablicach:

[tablice]

(obraz)

2+