Kombinatoryka

Łączna liczba - 5

Kombinacje

Liczba sposobów, na które spośród $n$ różnych elementów można wybrać $k$ $(0\leq k\leq n)$ elementów, jest równa $$\Large{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}$$ Jest to wzór na kombinacje. W zadaniach z kombinacji: 1) kolejność wyboru elementów ze zbioru nie jest istotna, czyli dwa podzbiory o tych samych elementach, ale różnej kolejności wyboru są tą samą kombinacją (np. $\{a,b\}, \{b,a\}$) 2) … Więcej…

Permutacje

Liczba sposobów, na które $n$ $(n\geq1)$ różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa $$\Large{n!}$$ Jest to wzór na permutacje. W zadaniach z permutacji: 1) istotna jest kolejność wyboru elementów ze zbioru, 2) używamy wszystkich elementów ze zbioru, które nie mogą się powtarzać. Przykład: Na ośmiu torach bieżni należy ustawić, w sposób losowy, $8$ zawodników. Na … Więcej…

Wariacje z powtórzeniami

Liczba sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k$ niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa $$\Large{n^k}$$ Jest to wzór na wariacje z powtórzeniami. W zadaniach z wariacji z powtórzeniami: 1) istotna jest kolejność, czyli np. tworząc dwuelementowe zbiory z liter $a, b, c$ zbiory {$a, b$}, {$b,a$} są różnymi zbiorami, … Więcej…

Reguła mnożenia

Jeżeli doświadczenie możemy podzielić na dwa etapy, pierwszy z nich wykonamy na $n_1$ sposobów, a drugi na $n_2$ sposobów, to stąd całe doświadczenie możemy wykonać na $n_1 \cdot n_2$ sposobów. Przykład: Rzucamy dwa razy monetą . Ile jest możliwych wyników tego doświadczenia? w pierwszym rzucie mamy $2$ możliwości wyniku: {$Reszka, Orzeł$}, w drugim rzucie również … Więcej…

Ile jest liczb… ?

W zadaniach typu “Ile jest liczb…” wykorzystujemy regułę mnożenia. Przykład: Ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez $5$? Na pierwszym miejscu mamy $9$ możliwych cyfr: ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ ( nie uwzględniamy tutaj zera, bo liczba nie może się od niego zaczynać). Na drugim miejscu mamy $10$ możliwych cyfr : ${0, 1, … Więcej…

Wariacje bez powtórzeń

Liczba sposobów, na które z $n$ różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z $k$ $(1\leq k\leq n)$ różnych wyrazów jest równa $$\Large{n\cdot (n-1)\cdot …\cdot (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}}$$ Jest to wzór na wariacje bez powtórzeń. Uwaga: W zadaniach z wariacji bez powtórzeń: 1) istotna jest kolejność elementów tej wariacji, 2) wybieramy $k$ razy bez zwracania po jednym … Więcej…

Silnia i współczynnik dwumianowy Newtona

Silnia Silnią liczby całkowitej dodatniej $n$ nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od $1$ do $n$ włącznie: $$\Large{n!=1\cdot 2\cdot …\cdot n}$$ Ponadto $0!=1$. Dla dowolnej liczby całkowitej $n\geq0$ zachodzi związek: $$\Large{(n+1)!=n!\cdot (n+1)}$$ Uwaga: Tego nie musisz wkuwać! Wybrane wzory matematyczne – CKE strona 2. $0!=1$ $1!=1$ $2!=1\cdot 2=2$ $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ $4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$ $5!=1\cdot … Więcej…

;