Długość odcinka

Skoro $A=(0,5)$, to $x_a=0$, $y_a=5$.
Skoro $B=(-2,3)$, to $x_b=-2$, $y_b=3$.

Podstawiamy odpowiednio do wzoru na długość odcinka:

$\left|AB\right|$$=\sqrt{(x_b-x_a{)}^2+(y_b-y_a{)}^2}$$=\sqrt{(-2-0{)}^2+(3-5{)}^2}$$=\sqrt{(-2{)}^2+(-2{)}^2}$$=\sqrt{8}$$=2\sqrt{2}$

Odpowiedź: Długość odcinka o końcach w punktach $A$ i $B$ wynosi $\left|AB\right|=2\sqrt{2}$.

Współrzędne punktów przecięcia prostej $3x+y-3=0$ z osiami układu współrzędnych możemy odczytać wprost z wykresu (nie zawsze) lub wyliczyć.

Pamiętaj! Jeżeli znasz dwa sposoby na rozwiązanie zadania, możesz samodzielnie sprawdzać swój wynik 🙂

Wyznaczymy szukane współrzędne, spróbuj odczytać je z wykresu i porównaj nasze wyniki.

Jeżeli $x=0$ $:$ $y-3=0$, czyli $y=3$, co daje punkt $A=(0,3)$.

Jeżeli $y=0$ $:$ $3x-3=0$, czyli $3x=3$, $x=1$ co daje punkt $B=(1,0)$.

Z rysunku widzimy, że przykład sprowadza się do policzenia długości odcinka o końcach w punktach $A$ i $B$.

Skoro $A=(0,3)$, to $x_a=0$, $y_a=3$.
Skoro $B=(1,0)$, to $x_b=1$, $y_b=0$.

Podstawiamy odpowiednio do wzoru:

$\left|AB\right|=\sqrt{(x_b-x_a{)}^2+(y_b-y_a{)}^2}$$=\sqrt{(1-0{)}^2+(0-3{)}^2}$$=\sqrt{1^2+(-3{)}^2}$$=\sqrt{10}$.

Odpowiedź: Długość odcinka wyciętego z prostej $3x+y-3=0$ przez osie współrzędnych wynosi $\sqrt{10}$.

Aby obliczyć obwód trójkąta musimy najpierw znaleźć długości poszczególnych boków
$AB$, $AC$, $BC$.

Skoro $A=(0,3)$, to $x_a=0$, $y_a=3$.
Skoro $B=(4,2)$, to $x_b=4$, $y_b=2$.
Skoro $c=(3,4)$, to $x_c=3$, $y_c=4$.

Podstawiamy odpowiednio do wzoru:

$\left|AB\right|=\sqrt{(x_b-x_a{)}^2+(y_b-y_a{)}^2}$$=\sqrt{(4-0{)}^2+(2-3{)}^2}$$=\sqrt{4^2+(-1{)}^2}$$=\sqrt{17}$.

$\left|AC\right|=\sqrt{(x_c-x_a{)}^2+(y_c-y_a{)}^2}$$=\sqrt{(3-0{)}^2+(4-3{)}^2}$$=\sqrt{3^2+1^2}$$=\sqrt{10}$.

$\left|BC\right|\sqrt{(3-4{)}^2+(4-2{)}^2}$$=\sqrt{(-1{)}^2+2^2}$$=\sqrt{5}$.

Wyznaczamy obwód trójkąta $\Delta ABC$

$L$$=\left|AB\right|+\left|AC\right|+\left|BC\right|$$=\sqrt{17}+\sqrt{10}+\sqrt{5}$

Aby sprawdzić, czy badany trójkąt jest prostokątny skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa. Zauważmy, że najdłuższym bokiem trójkąta jest bok $AB$.

Sprawdzamy, czy $${\left|AC\right|}^2+{\left|BC\right|}^2={\left|AB\right|}^2$$

$${\sqrt{10}}^2+{\sqrt{5}}^2\ne {\sqrt{17}}^2$$

$$10+5\ne 17$$

$$15\ne 17$$

Z Twierdzenia Pitagorasa trójkąt o wierzchołkach $A=(0,3)$, $B=(4,2)$, $C=(3,4)$ nie jest prostokątny.

Odpowiedź: $L=\sqrt{17}+\sqrt{10}+\sqrt{5}$, $\Delta ABC$ nie jest prostokątny.

Jeżeli nie chcemy korzystać ze wzoru na długość odcinka, możemy wykorzystać Twierdzenie Pitagorasa. Na początek narysujmy na osi podane punkty $A$ i $B$. Oznaczmy odcinek $AB$ przez $a$. Dorysujmy odpowiedni trójkąt prostokątny 🙂

Z rysunku odczytać możemy, że $\left|AC\right|=2$, $\left|BC\right|=3$, $\left|AB\right|=a=?$

Z Tw. Pitagorasa:
$${\left|AC\right|}^2+{\left|BC\right|}^2=a^2$$$$2^2+3^2=a^2$$$$4+9=a^2$$$$a^2=13$$

Pole kwadratu wyraża się wzorem $P=a^2$, więc pole szukanego kwadratu wynosi $13[j{]}^2$.

Analogicznie, korzystając ze wzoru na długość odcinka $\left|AB\right|=a$ znajdziemy pole prostokąta $ABCD$.

Dla $A=(-1,3)$ i $B=(2,1)$ mamy:

$\left|AB\right|$$\sqrt{(2-(-1){)}^2+(1-3{)}^2}$$=\sqrt{13}$$

Zatem długość boku prostokąta $ABCD$ wynosi $a=\sqrt{13}$.

Ze wzoru na pole otrzymujemy, że $P=a^2={\sqrt{13}}^2=13$.

Odpowiedź: Pole kwadratu $ABCD$ wynosi $13[j{]}^2$.