Równanie okręgu opisuje wszystkie punkty oddalone o ustaloną odległość od jego środka. Poznaj postacie tego równania i zobacz, jak wyznaczać je z danych o środku, promieniu lub położeniu punktów.
Równanie okręgu o środku w punkcie Wzór matematyczny: S równa się nawias otwierający a przecinek b nawias zamykający. S = ( a , b ) Wzór matematyczny: r większe niż 0. r > 0
Wzór matematyczny: nawias otwierający x minus a nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający y minus b nawias zamykający do kwadratu równa się r do kwadratu. ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2
gdy Wzór matematyczny: r większe niż 0 część wspólna zbiorów r do kwadratu równa się a do kwadratu plus b do kwadratu minus c. r > 0 ∩ r 2 = a 2 + b 2 − c
Interpretacja geometryczna:
Uwaga: Tego nie musisz wkuwać! Wybrane wzory matematyczne - CKE strona 5.
Przykład: Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie Wzór matematyczny: S równa się nawias otwierający 1 przecinek 0 nawias zamykający. S = ( 1 , 0 ) Wzór matematyczny: r równa się 2. r = 2
Skorzystamy ze wzoru na równanie okręgu o środku w punkcie
Wzór matematyczny: S równa się nawias otwierający a przecinek b nawias zamykający. S = ( a , b ) i promieniu
Wzór matematyczny: r. r .
Z treści zadania wiemy, że
Wzór matematyczny: r równa się 2. r = 2 .
Skoro
Wzór matematyczny: S równa się nawias otwierający 1 przecinek 0 nawias zamykający. S = ( 1 , 0 ) to
Wzór matematyczny: a równa się 1. a = 1 ,
Wzór matematyczny: b równa się 0. b = 0 .
Podstawiając do wzoru:
Wzór matematyczny: nawias otwierający x minus a nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający y minus b nawias zamykający do kwadratu równa się r do kwadratu. ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2
Wzór matematyczny: nawias otwierający x minus 1 nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający y minus 0 nawias zamykający do kwadratu równa się 2 do kwadratu. ( x − 1 ) 2 + ( y − 0 ) 2 = 2 2
Wzór matematyczny: nawias otwierający x minus 1 nawias zamykający do kwadratu plus y do kwadratu równa się 4. ( x − 1 ) 2 + y 2 = 4
Odpowiedź: Równanie okręgu o środku w punkcie
Wzór matematyczny: S równa się nawias otwierający 1 przecinek 0 nawias zamykający. S = ( 1 , 0 ) i promieniu
Wzór matematyczny: r równa się 2. r = 2 jest postaci
Wzór matematyczny: nawias otwierający x minus 1 nawias zamykający do kwadratu plus y do kwadratu równa się 4. ( x − 1 ) 2 + y 2 = 4 .
Przykład: Wyznacz długość średnicy okręgu opisanego wzorem Wzór matematyczny: nawias otwierający x plus 3 nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający y plus 2 nawias zamykający do kwadratu równa się 1. ( x + 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 1
Z treści zadania wiemy, że
Wzór matematyczny: S równa się nawias otwierający minus 3 przecinek minus 2 nawias zamykający. S = ( − 3 , − 2 ) ,
Wzór matematyczny: r równa się pierwiastek kwadratowy z: 1; koniec pierwiastka równa się 1. r = 1 = 1
Z rysunku odczytać możemy, że okrąg
Wzór matematyczny: nawias otwierający x plus 3 nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający y plus 2 nawias zamykający do kwadratu równa się 1. ( x + 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 1 leży w
Wzór matematyczny: I V. I V ćwiartce.
Wiemy, że długość średnicy równa jest długości dwóch promieni.
Zatem
Wzór matematyczny: d równa się 2 razy 1 równa się 2. d = 2 ⋅ 1 = 2 Odpowiedź: Okrąg leży w
Wzór matematyczny: I I I. I I I ćwiartce, a jego średnica ma długość
Wzór matematyczny: 2. 2 .
Przykład: Wyznacz współrzędne środka oraz promień okręgu danego równaniem: Wzór matematyczny: x do kwadratu plus y do kwadratu minus 4 x minus 6 y plus 9 równa się 0. x 2 + y 2 − 4 x − 6 y + 9 = 0
Przypomnijmy odpowiednie wzory:
Wzór matematyczny: x do kwadratu plus y do kwadratu minus 2 a x minus 2 b y plus c równa się 0. x 2 + y 2 − 2 a x − 2 b y + c = 0
Wzór matematyczny: x do kwadratu plus y do kwadratu minus 4 x minus 6 y plus 9 równa się 0. x 2 + y 2 − 4 x − 6 y + 9 = 0
Mamy:
Wzór matematyczny: minus 2 a równa się minus 4 wynika a równa się 2. − 2 a = − 4 ⇒ a = 2
Wzór matematyczny: minus 2 b równa się minus 6 wynika b równa się 3. − 2 b = − 6 ⇒ b = 3
Wzór matematyczny: c równa się 9. c = 9
Stąd
Wzór matematyczny: S równa się nawias otwierający 2 przecinek 3 nawias zamykający. S = ( 2 , 3 ) .
Wiemy, że
Wzór matematyczny: r do kwadratu równa się a do kwadratu plus b do kwadratu minus c równa się 2 do kwadratu plus 3 do kwadratu minus 9. r 2 = a 2 + b 2 − c = 2 2 + 3 2 − 9 Wzór matematyczny: równa się 4 plus 4 minus 9 równa się 4. = 4 + 4 − 9 = 4 Wzór matematyczny: r równa się pierwiastek kwadratowy z: 2 do kwadratu; koniec pierwiastka równa się. r = 2 2 = Wzór matematyczny: kreska pionowa 2 kreska pionowa. | 2 | Wzór matematyczny: równa się nawias otwierający r większe niż 0 nawias zamykający. = ( r > 0 ) Wzór matematyczny: równa się 2. = 2
Odpowiedź: Środek okręgu Wzór matematyczny: x do kwadratu plus y do kwadratu minus 4 x minus 6 y plus 9 równa się 0. x 2 + y 2 − 4 x − 6 y + 9 = 0 Wzór matematyczny: r równa się 2. r = 2 Wzór matematyczny: S równa się nawias otwierający 2 przecinek 3 nawias zamykający. S = ( 2 , 3 )
Przykład: Wyznacz równanie okręgu o środku Wzór matematyczny: S równa się nawias otwierający minus 3 przecinek 6 nawias zamykający. S = ( − 3 , 6 ) Wzór matematyczny: P równa się nawias otwierający 1 przecinek 6 nawias zamykający. P = ( 1 , 6 )
Korzystając ze wzoru na równanie okręgu o środku w punkcie
Wzór matematyczny: S równa się nawias otwierający minus 3 przecinek 6 nawias zamykający. S = ( − 3 , 6 ) mamy, że
Wzór matematyczny: nawias otwierający x minus nawias otwierający minus 3 nawias zamykający nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający y minus 6 nawias zamykający do kwadratu równa się r do kwadratu. ( x − ( − 3 ) ) 2 + ( y − 6 ) 2 = r 2 Wzór matematyczny: nawias otwierający x plus 3 nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający y minus 6 nawias zamykający do kwadratu równa się r do kwadratu. ( x + 3 ) 2 + ( y − 6 ) 2 = r 2
Aby rozwiązać zadanie musimy znaleźć Wzór matematyczny: r do kwadratu. r 2 Wzór matematyczny: P równa się nawias otwierający 1 przecinek 6 nawias zamykający równa się nawias otwierający x przecinek y nawias zamykający. P = ( 1 , 6 ) = ( x , y ) Wzór matematyczny: nawias otwierający x plus 3 nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający y minus 6 nawias zamykający do kwadratu równa się r do kwadratu. ( x + 3 ) 2 + ( y − 6 ) 2 = r 2
Wzór matematyczny: nawias otwierający 1 plus 3 nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający 6 minus 6 nawias zamykający do kwadratu równa się r do kwadratu. ( 1 + 3 ) 2 + ( 6 − 6 ) 2 = r 2
Wzór matematyczny: 4 do kwadratu równa się r do kwadratu. 4 2 = r 2
Wzór matematyczny: r do kwadratu równa się 15. r 2 = 15
Ostatecznie
Wzór matematyczny: nawias otwierający x plus 3 nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający y minus 6 nawias zamykający do kwadratu równa się 4 do kwadratu. ( x + 3 ) 2 + ( y − 6 ) 2 = 4 2 .
Odpowiedź: Równanie tego okręgu to
Wzór matematyczny: nawias otwierający x plus 3 nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający y minus 6 nawias zamykający do kwadratu równa się 16. ( x + 3 ) 2 + ( y − 6 ) 2 = 16 .
Przykład: Wyznacz równanie okręgu stycznego do osi Wzór matematyczny: O X. O X Wzór matematyczny: S równa się nawias otwierający 2 przecinek 3 nawias zamykający. S = ( 2 , 3 )
Widzimy, że punkt
Wzór matematyczny: S równa się nawias otwierający 2 przecinek 3 nawias zamykający. S = ( 2 , 3 ) będący środkiem okręgu oddalony jest od osi
Wzór matematyczny: O X. O X o
Wzór matematyczny: 3. 3 . Wynika z tego, że aby ten okrąg był styczny
do osi
Wzór matematyczny: O X. O X promień naszego okręgu musi wynosić
Wzór matematyczny: r równa się 3. r = 3 .
Pamiętając, że we wzorze ogólnym zapisujemy kwadrat promienia zapiszmy równanie tego okręgu:
Wzór matematyczny: nawias otwierający x minus a nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający y minus b nawias zamykający do kwadratu równa się r do kwadratu. ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Wzór matematyczny: nawias otwierający x minus 2 nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający y minus 3 nawias zamykający do kwadratu równa się 3 do kwadratu. ( x − 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 3 2
Wzór matematyczny: nawias otwierający x minus 2 nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający y minus 3 nawias zamykający do kwadratu równa się 9. ( x − 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 9 Odpowiedź: Równanie szukanego okręgu to Wzór matematyczny: nawias otwierający x minus 2 nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający y minus 3 nawias zamykający do kwadratu równa się 9. ( x − 2 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 9
długości odcinka do zadań z równań okręgu
Przykład: Oblicz odległość środków okręgów danych równaniami: Wzór matematyczny: nawias otwierający x minus 2 nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający y plus 3 nawias zamykający do kwadratu równa się 4. ( x − 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 4 Wzór matematyczny: nawias otwierający x minus 1 nawias zamykający do kwadratu plus y do kwadratu równa się 3. ( x − 1 ) 2 + y 2 = 3
Z treści zadania możemy odczytać współrzędne środków odcinków.
Środek pierwszego okręgu: Wzór matematyczny: S z indeksem dolnym: 1; koniec indeksu równa się nawias otwierający 2 przecinek minus 3 nawias zamykający. S 1 = ( 2 , − 3 )
Środek drugiego okręgu: Wzór matematyczny: S z indeksem dolnym: 2; koniec indeksu równa się nawias otwierający 1 przecinek 0 nawias zamykający. S 2 = ( 1 , 0 )
Wzór matematyczny: kreska pionowa S z indeksem dolnym: 1; koniec indeksu S z indeksem dolnym: 2; koniec indeksu kreska pionowa równa się. | S 1 S 2 | = Wzór matematyczny: pierwiastek kwadratowy z: nawias otwierający x z indeksem dolnym: S z indeksem dolnym: 1; koniec indeksu; koniec indeksu minus x z indeksem dolnym: S z indeksem dolnym: 2; koniec indeksu; koniec indeksu nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający y z indeksem dolnym: S z indeksem dolnym: 1; koniec indeksu; koniec indeksu minus y z indeksem dolnym: S z indeksem dolnym: 2; koniec indeksu; koniec indeksu nawias zamykający do kwadratu; koniec pierwiastka równa się. ( x S 1 − x S 2 ) 2 + ( y S 1 − y S 2 ) 2 = Wzór matematyczny: pierwiastek kwadratowy z: nawias otwierający 1 minus 2 nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający 0 minus nawias otwierający minus 3 nawias zamykający nawias zamykający do kwadratu; koniec pierwiastka równa się. ( 1 − 2 ) 2 + ( 0 − ( − 3 ) ) 2 = Wzór matematyczny: pierwiastek kwadratowy z: nawias otwierający minus 1 nawias zamykający do kwadratu plus 3 do kwadratu; koniec pierwiastka równa się. ( − 1 ) 2 + 3 2 = Wzór matematyczny: pierwiastek kwadratowy z: 10; koniec pierwiastka. 10 Odpowiedź: Odległość środków danych okręgów wynosi
Wzór matematyczny: pierwiastek kwadratowy z: 10; koniec pierwiastka. 10 .
Przykład: Niech dane będą dwa okręgi styczne zewnętrznie o równych promieniach. Wyznacz promień każdego z okręgów o środkach Wzór matematyczny: S z indeksem dolnym: 1; koniec indeksu równa się nawias otwierający 1 przecinek 3 nawias zamykający. S 1 = ( 1 , 3 ) Wzór matematyczny: S z indeksem dolnym: 2; koniec indeksu równa się nawias otwierający minus 1 przecinek 4 nawias zamykający. S 2 = ( − 1 , 4 )
Wiemy, że badane okręgi są styczne zewnętrznie.
Z rysunku wynika, że znalezienie promienia każdego z nich opiera się na obliczeniu długości punktów
Wzór matematyczny: S z indeksem dolnym: 1; koniec indeksu. S 1 i
Wzór matematyczny: S z indeksem dolnym: 2; koniec indeksu. S 2 od siebie (obliczeniu długości odcinka
Wzór matematyczny: S z indeksem dolnym: 1; koniec indeksu S z indeksem dolnym: 2; koniec indeksu. S 1 S 2 ).
Wartość ta będzie równa dwóm promieniom (bo oba okręgi mają ten sam promień).
Mamy więc, że
Wzór matematyczny: kreska pionowa S z indeksem dolnym: 1; koniec indeksu S z indeksem dolnym: 2; koniec indeksu kreska pionowa równa się. | S 1 S 2 | = Wzór matematyczny: pierwiastek kwadratowy z: nawias otwierający x z indeksem dolnym: S z indeksem dolnym: 1; koniec indeksu; koniec indeksu minus x z indeksem dolnym: S z indeksem dolnym: 2; koniec indeksu; koniec indeksu nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający y z indeksem dolnym: S z indeksem dolnym: 1; koniec indeksu; koniec indeksu minus y z indeksem dolnym: S z indeksem dolnym: 2; koniec indeksu; koniec indeksu nawias zamykający do kwadratu; koniec pierwiastka równa się. ( x S 1 − x S 2 ) 2 + ( y S 1 − y S 2 ) 2 = Wzór matematyczny: pierwiastek kwadratowy z: nawias otwierający minus 1 minus 1 nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający 4 minus 3 nawias zamykający do kwadratu; koniec pierwiastka równa się. ( − 1 − 1 ) 2 + ( 4 − 3 ) 2 = Wzór matematyczny: pierwiastek kwadratowy z: 5; koniec pierwiastka równa się 2 r. 5 = 2 r
Skoro
Wzór matematyczny: 2 r równa się pierwiastek kwadratowy z: 5; koniec pierwiastka. 2 r = 5 , to
Wzór matematyczny: r równa się pierwiastek kwadratowy z: 5; koniec pierwiastka 2. r = 5 2 .
Odpowiedź: Promień pierwszego i drugiego okręgu wnosi
Wzór matematyczny: pierwiastek kwadratowy z: 5; koniec pierwiastka 2. 5 2 .
Przykład: Dany jest okrąg o środku Wzór matematyczny: S równa się nawias otwierający 2 przecinek minus 1 nawias zamykający. S = ( 2 , − 1 ) Wzór matematyczny: r równa się 314. r = 314 Wzór matematyczny: O X. O X Wzór matematyczny: S do potęgi: prim; koniec potęgi. S ′ Wzór matematyczny: S. S Wzór matematyczny: S do potęgi: prim; koniec potęgi. S ′
Z rysunku odczytać możemy, że punkt
Wzór matematyczny: S do potęgi: prim; koniec potęgi równa się nawias otwierający minus 2 przecinek minus 1 nawias zamykający. S ′ = ( − 2 , − 1 ) .
Zauważmy, że informacja o długości promienia pierwszego okręgu jest zmyłką 🙂 - nie potrzebujemy jej do rozwiązania zadania.
Mamy, że Wzór matematyczny: S równa się nawias otwierający 2 przecinek minus 1 nawias zamykający. S = ( 2 , − 1 ) Wzór matematyczny: S do potęgi: prim; koniec potęgi równa się nawias otwierający minus 2 przecinek minus 1 nawias zamykający. S ′ = ( − 2 , − 1 )
Wzór matematyczny: kreska pionowa S S do potęgi: prim; koniec potęgi kreska pionowa równa się pierwiastek kwadratowy z: nawias otwierający 2 minus nawias otwierający minus 2 nawias zamykający nawias zamykający do kwadratu plus nawias otwierający minus 1 minus nawias otwierający minus 1 nawias zamykający nawias zamykający do kwadratu; koniec pierwiastka. | S S ′ | = ( 2 − ( − 2 ) ) 2 + ( − 1 − ( − 1 ) ) 2 Wzór matematyczny: równa się pierwiastek kwadratowy z: 4 do kwadratu; koniec pierwiastka równa się 4. = 4 2 = 4
Odpowiedź: Odległość między punktami Wzór matematyczny: S. S Wzór matematyczny: S do potęgi: prim; koniec potęgi. S ′ Wzór matematyczny: 4. 4 Wzór matematyczny: kreska pionowa S S do potęgi: prim; koniec potęgi kreska pionowa równa się 4. | S S ′ | = 4
Komentarze