Równanie okręgu – teoria

Równanie okręgu o środku w punkcie $S=(a,b)$ i promieniu $r>0$ dane jest wzorem:

$$\Large{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}$$ lub

$$\Large{x^2 + y^2 -2ax -2by + c =0}$$

gdy $r>0 \cap r^2=a^2+b^2-c$.

Interpretacja geometryczna:

Uwaga: Tego nie musisz wkuwać! Wybrane wzory matematyczne – CKE strona 5.

Przykład: Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie $S=(1,0)$ i promieniu $r=2$.

Skorzystamy ze wzoru na równanie okręgu o środku w punkcie $S=(a,b)$ i promieniu $r$.
Z treści zadania wiemy, że $r=2$.
Skoro $S=(1,0)$ to $a=1$, $b=0$.

Podstawiając do wzoru:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

$$(x-1)^2+(y-0)^2=2^2$$

$$(x-1)^2+y^2=4$$

Odpowiedź: Równanie okręgu o środku w punkcie $S=(1,0)$ i promieniu $r=2$ jest postaci $(x-1)^2+y^2=4$.

Przykład: Wyznacz długość średnicy okręgu opisanego wzorem $(x+3)^2+(y+2)^2=1$. W której ćwiartce leży ten okrąg?

Z treści zadania wiemy, że $S=(-3,-2)$, $r=\sqrt1=1$

Z rysunku odczytać możemy, że okrąg $(x+3)^2+(y+2)^2=1$ leży w $IV$ ćwiartce.
Wiemy, że długość średnicy równa jest długości dwóch promieni.
Zatem $d=2\cdot 1=2$
Odpowiedź: Okrąg leży w $III$ ćwiartce, a jego średnica ma długość $2$.

Przykład: Wyznacz współrzędne środka oraz promień okręgu danego równaniem: $x^2+y^2-4x-6y+9=0$.

Przypomnijmy odpowiednie wzory:
$$x^2 + y^2 -2ax -2by + c =0$$

$$x^2+y^2-4x-6y+9=0$$

Mamy:

$$-2a=-4 \Rightarrow a=2$$

$$-2b=-6 \Rightarrow b=3$$

$$c=9$$

Stąd $S=(2,3)$.
Wiemy, że

$r^2=a^2+b^2-c=2^2+3^2-9$$=4+4-9=4$
$r=\sqrt{2^2}=$$|2|$$=(r>0)$$=2$

Odpowiedź: Środek okręgu $x^2+y^2-4x-6y+9=0$ o promieniu $r=2$ wynosi $S=(2,3)$.

Wyznaczanie równania okręgu ze względu na jego położenie

Przykład: Wyznacz równanie okręgu o środku $S=(-3,6)$ przechodzącego przez punkt $P=(1,6)$.

Korzystając ze wzoru na równanie okręgu o środku w punkcie $S=(-3,6)$ mamy, że
$$(x-(-3))^2+(y-6)^2=r^2$$$$(x+3)^2+(y-6)^2=r^2$$

Aby rozwiązać zadanie musimy znaleźć $r^2$. W poleceniu nie podano długości promienia. Skorzystamy z tego, że okrąg przechodzi przez punkt $P=(1,6)=(x,y)$. Podstawmy do wzoru:$$(x+3)^2+(y-6)^2=r^2$$

$$(1+3)^2+(6-6)^2=r^2$$

$$4^2=r^2$$

$$r^2=15$$

Ostatecznie $(x+3)^2+(y-6)^2=4^2$.
Odpowiedź: Równanie tego okręgu to $(x+3)^2+(y-6)^2=16$.

Przykład: Wyznacz równanie okręgu stycznego do osi $OX$ o środku w punkcie $S=(2,3)$.

Widzimy, że punkt $S=(2,3)$ będący środkiem okręgu oddalony jest od osi $OX$ o $3$. Wynika z tego, że aby ten okrąg był styczny
do osi $OX$ promień naszego okręgu musi wynosić $r=3$.

Pamiętając, że we wzorze ogólnym zapisujemy kwadrat promienia zapiszmy równanie tego okręgu:$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

$$(x-2)^2+(y-3)^2=3^2$$

$$(x-2)^2+(y-3)^2=9$$
Odpowiedź: Równanie szukanego okręgu to $(x-2)^2+(y-3)^2=9$.

Wykorzystanie długości odcinka do zadań z równań okręgu

Przykład: Oblicz odległość środków okręgów danych równaniami: $(x-2)^2+(y+3)^2=4$, $(x-1)^2+y^2=3$.

Z treści zadania możemy odczytać współrzędne środków odcinków.

Środek pierwszego okręgu: $S_1=(2,-3)$

Środek drugiego okręgu: $S_2=(1,0)$

$\left|S_1S_2\right|=$$\sqrt{(x_{S_1}-x_{S_2})^2+(y_{S_1}-y_{S_2})^2}=$$\sqrt{(1-2)^2+(0-(-3))^2}=$$\sqrt{(-1)^2+3^2}=$$\sqrt{10}$
Odpowiedź: Odległość środków danych okręgów wynosi $\sqrt{10}$.

Przykład: Niech dane będą dwa okręgi styczne zewnętrznie o równych promieniach. Wyznacz promień każdego z okręgów o środkach $S_1=(1,3)$ i $S_2=(-1,4)$.

Wiemy, że badane okręgi są styczne zewnętrznie.
Z rysunku wynika, że znalezienie promienia każdego z nich opiera się na obliczeniu długości punktów $S_1$ i $S_2$ od siebie (obliczeniu długości odcinka $S_1S_2$).
Wartość ta będzie równa dwóm promieniom (bo oba okręgi mają ten sam promień).

Mamy więc, że

$\left|S_1S_2\right|=$$\sqrt{(x_{S_1}-x_{S_2})^2+(y_{S_1}-y_{S_2})^2}=$$\sqrt{(-1-1)^2+(4-3)^2}=$$\sqrt5=2r$

Skoro $2r=\sqrt5$, to $r=\sqrt52$.
Odpowiedź: Promień pierwszego i drugiego okręgu wnosi $\sqrt52$.

Przykład: Dany jest okrąg o środku $S=(2,-1)$ i promieniu $r=314$. Obrazem tego okręgu w symetrii względem osi $OX$ jest okrąg o środku w punkcie $S’$. Oblicz odległość między punktami $S$ i $S’$.


Z rysunku odczytać możemy, że punkt $S’=(-2,-1)$.
Zauważmy, że informacja o długości promienia pierwszego okręgu jest zmyłką 🙂 – nie potrzebujemy jej do rozwiązania zadania.

Mamy, że $S=(2,-1)$ oraz $S’=(-2,-1)$, więc

$|SS’|=\sqrt{(2-(-2))^{2}+(-1-(-1))^{2}}$$=\sqrt{4^{2}}=4$

Odpowiedź: Odległość między punktami $S$ i $S’$ wynosi $4$, czyli $|SS’|=4$.

 

0