Metoda drzewa

W rozwiązaniu tego typu zadania pomoże nam metoda drzewa. Skonstruujmy drzewo stochastyczne ilustrujące przebieg doświadczenia losowego opisanego w poleceniu.

$1°$ Zacznijmy od początku drzewa.

$2°$ Wierzchołki drzewa po pierwszym ruchu będą opisane $O$- orzeł i $R$-reszka.

 

$3°$ Dopiszmy prawdopodobieństwa otrzymania w pierwszym rzucie orła lub reszki.

$4°$ Jeżeli wylosujemy orła możemy otrzymać orła lub reszkę, jeżeli wylosujemy reszkę możemy również otrzymać orła lub reszkę. Podobnie w kolejnym rzucie.

$5°$ Wpisujemy odpowiednie prawdopodobieństwa.

Wszystkie możliwe drogi/gałęzie drzewa możemy określić jako zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych $\Omega$. Ilość różnych dróg które możemy osiągnąć to $|\Omega |$.

Tych dróg jak widać w ostatnim wierszu jest $8$, więc $|\Omega |=8$.

$Kolorem$ oznaczone są wszystkie gałęzie opisujące zdarzenie losowe $A$ czyli wyrzucenie orła
w drugim i trzecim rzucie.

Widzimy, że $A=${$O,O,O$}$,${$R,O,O$}, więc $A=2$

Z klasycznej definicji prawdopodobieństwa mamy: $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}$$=\frac{2}{8}$$=\frac{1}{4}$.

W bardziej skomplikowanych przypadkach skorzystamy z reguły sum dla dwóch oznaczonych gałęzi. W tym przypadku mamy $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$$+$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$$=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}$$=\frac{1}{4}$

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ w trzykrotnym rzucie monetą wynosi $P(A)=\frac{1}{4}$.

A. W rozwiązaniu tego typu zadania pomoże nam metoda drzewa. Skonstruujmy drzewo stochastyczne ilustrujące przebieg doświadczenia losowego opisanego w poleceniu.
Zacznijmy od początku drzewa.
Wierzchołki drzewa po pierwszym ruchu będą opisane kolejnymi liczbami na kostce. Poszczególne zdarzenia zachodzą z prawdopodobieństwem $\frac{1}{6}$. Jeżeli wylosujemy liczbę parzystą rzucamy monetą.

Zdarzenia {$O$} lub {$R$} zachodzą z prawdopodobieństwem $\frac{1}{2}$. Jeżeli wylosujemy liczbę nieparzystą zakładamy że wypadnie orzeł $O$- jest to zdarzenie pewne które zachodzi z prawdopodobieństwem $1$. $Kolorem$ oznaczone są wszystkie gałęzie opisujące zdarzenie losowe $A$ czyli wylosowanie reszki.

Z reguły sum mamy, że $P(A)=$$\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}$$+$$\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}$$+$$\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}$$=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}$$=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wylosowania reszki wynosi $P(A)=\frac{1}{4}$.

B. Drzewo stochastyczne jest skonstruowane podobnie jak w przykładzie $A$.
Zmienią się jedynie gałęzie oznaczające zdarzenie losowe $B-$ wylosowanie orła.

Z reguły sum mamy, że $P(B)=\frac{1}{6}\cdot 1$$+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}$$+\frac{1}{6}\cdot 1+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}$$+\frac{1}{6}\cdot 1$$+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}$$=\frac{9}{12}$$=\frac{3}{4}$.

Zauważmy, że wylosowanie orła jest zdarzeniem przeciwnym do wylosowania reszki zatem $P(B)=P(A^{\prime })$.

Wiemy, że $P(A)=\frac{1}{4}$ oraz $P(A^{\prime })=1-P(A)$.

$P(A^{\prime })=1-\frac{1}{4}$

$P(A^{\prime })=\frac{3}{4}$ czyli $P(B)=\frac{3}{4}$

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wylosowania orła wynosi $P(B)=\frac{3}{4}$.

W rozwiązaniu tego typu zadania pomoże nam metoda drzewa. Skonstruujmy drzewo stochastyczne ilustrujące przebieg doświadczenia losowego opisanego w poleceniu.

$1°$ Jak opisać drzewo po pierwszym rzucie?

Wierzchołki drzewa po pierwszym ruchu będą opisane $o,b$, gdzie $B$ oznacza wylosowanie kuli białej
i $C$ oznacza wylosowanie kuli czarnej.

Naszym zbiorem $\Omega$ jest zbiór kul. Mamy 7 kul białych i 5 kul czarnych- w sumie 12 kul $\Rightarrow$ $|\Omega |=12$ w pierwszym rzucie.

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi $\frac{7}{12}$.

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej wynosi $\frac{5}{12}$.

$2°$ Jak opisać drzewo po drugim rzucie?

Naszym zbiorem $\Omega$ jest zbiór kul po pierwszym losowaniu. Losujemy bez zwrotu,
więc nie dostajemy z powrotem kuli do naszej puli równej 12.
Wynika z tego, że możemy losować tylko z 12-1 kul $\Rightarrow$ $|\Omega |=11$

W zależności od pierwszego ruchu zmienimy pulę kul w odpowiednim kolorze:

• Jeżeli w pierwszym rzucie wylosujemy kulę białą $B$ to prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej w drugim rzucie wyniesie $\frac{7-1}{11}=\frac{6}{11}$ a prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej $C$
  w drugim rzucie wyniesie $\frac{5}{11}$
• Jeżeli w pierwszym rzucie wylosujemy kulę czarną $C$ to prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej w drugim rzucie wyniesie $\frac{5-1}{11}=\frac{4}{11}$ a prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej $B$
  w drugim rzucie wyniesie $\frac{7}{11}$

$Kolorem$ oznaczone są wszystkie gałęzie opisujące zdarzenie losowe $A$ czyli wylosowanie kuli czarnej za drugim razem.

Z reguły sum mamy, że:
$P(A)=\frac{7}{12}\cdot \frac{5}{11}+\frac{5}{12}\cdot \frac{4}{11}=$$\frac{35}{132}+\frac{20}{132}=$$\frac{55}{132}$.

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że za drugim razem wylosujemy kulę czarną wynosi $\frac{55}{132}$.