Równoległobok

Równoległobok
    $$ $$ $$ $$ $$ $$

  • „kopnięty prostokąt”
  • dwie pary boków jednakowej długości
  • dwie pary boków równoległe do siebie
  • przekątne dzielą się na połowę
  • suma kątów leżących na tym samym boku wynosi 180$^\circ$
  • przeciwległe kąty tej samej miary
  • szczególny przypadek trapezu

$$P = a \cdot h$$ $$P = a \cdot b \cdot \sin \alpha$$ $$Obw = 2 \cdot a + 2 \cdot b$$

Prostokąt

Prostokąt
  • dwie pary boków jednakowej długości
  • dwie pary boków równoległe do siebie
  • przekątne dzielą się na połowę
  • wszystkie kąty wewnętrzne 90$^\circ$

$$P = a \cdot b$$ $$Obw = 2 \cdot a + 2 \cdot b$$

Przykłady zadań

Przykład 1: Oblicz długość dłuższej przekątnej równoległoboku o bokach długości 8 i 12 oraz kącie ostrym 60$^\circ$.


$$ $$
Zauważmy, że skoro kąt ostry ma 60$^\circ$
to drugi z kątów ma 120$^\circ$.
(patrz rys. obok)
Zauważmy, że z naszego równoległoboku możemy
wyciąć trójkąt, gdzie x to dłuższa przekątna.
$$ $$
$$ $$
$$ $$
Istotnie (rys. obok), mając trójkąt 120$^\circ$
i bokach x, 12 i 8 – możemy skorzystać z twierdzenia
cosinusów, układamy równanie
$$x^{2} = 12^{2} + 8^{2} – 2 \cdot 12 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ$$ $$ x^{2} = 144 + 64 – 192 \cdot \cos (180^\circ – 60^\circ)$$ $$ x^{2} = 208 – 192 \cdot (- \cos 60^\circ) $$ $$ x^{2} = 208 – 192 \cdot (-\frac{1}{2}) $$ $$x^{2} = 304 $$ $$ x =\sqrt{304} = \sqrt{16\cdot19} = 4\sqrt{19}$$

Odp: Długość dłuższej przekątnej wynosi $4\sqrt{19}$.

Przykład 2: W równoległoboku o bokach długości 4 cm i 20 cm poprowadzono dwusieczną kąta rozwartego, którego miara wynosi 120$^\circ$. Wyznacz długości odcinków, na jakie ta dwusieczna podzieliła bok równoległoboku.


Jeżeli kąt rozwarty równoległoboku ma miarę 120$^\circ$, to kąt ostry równoległoboku ma miarę $\alpha$ = 60$$\circ$.
Wobec tego trójkąt AED jest równoboczny.

Zatem wszystkie jego kąty mają miarę 60$^\circ$
(patrz rys. obok), czyli
$$ x = 4 $$ $$ 20 – x =16 $$

Odp: Dwusieczna dzieli bok na odcinki o długości 4 i 16.

0