Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Przykłady:

• $1,2,4,8,...$
• $9,3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{9},\dots$
• $4,-2,1,-\frac{1}{2},\dots$

Zatem $q$ w podanych przykładach:

• dla ciągu $1,2,4,8,...$ → $q=2$
• dla ciągu $9,3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{9},\dots$ → $q=\frac{1}{3}$
• dla ciągu $4,-2,1,-\frac{1}{2},\dots$ → $q=-\frac{1}{2}$

Aby uzyskać wzór na $n$-ty wyraz potrzebujemy $a_1$ oraz $q$. Odczytujemy wprost, że

$a_1=5$

Aby obliczyć $q$, przekształcamy poznany na początku wzór do postaci dzieląc obie strony przez $a_n$:

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$, do którego wstawiamy $a_1=5$ i $a_2=15$.

$q=\frac{15}{5}=3$, więc $q=3$.

Mamy już wszystko co potrzebne, wstawiamy $a_1$ i $q$ do wzoru:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}=5\cdot 3^{n-1}$

Odpowiedź: Wzór na $n$-ty wyraz ciągu to $a_n=5\cdot 3^{n-1}$.

a) $a_1=2^1=2$$a_2=2^2=4$

$a_3=2^3=8$

$a_4=2^4=16$

$a_5=2^5=32$

b) $b_1=(-1{)}^1=-1$

$b_2=(-1{)}^2=1$

$b_3=(-1{)}^3=-1$

$b_4=(-1{)}^4=1$

$b_5=(-1{)}^5=-1$

Krok 1: Mając podane dwa pierwsze wyrazy ciągu, wprost ze wzoru, obliczamy iloraz $q$:

$a_2=a_1\cdot q$

$q=\frac{a_2}{a_1}$

$q=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$

Krok 2: Teraz możemy analogicznie wyznaczyć trzeci wyraz ciągu, ponieważ znamy już $q$ oraz mamy podane $a_1$:

$a_3=a_1\cdot q^2$

$a_3=24\cdot (\frac{1}{4}{)}^2$

$a_3=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

Krok 3: Skoro trzeci wyraz wyraża się w postaci $a_3=a-1$, to wykonujemy działanie, aby wyliczyć $a$:

$\frac{3}{2}=a-1$

$\frac{3}{2}+1=a$

$a=\frac{5}{2}$

Odpowiedź: LIczba $a$ wynosi $\frac{5}{2}$.

Znając $a_3$ i $a_4$ wyliczamy $q$, wiedząc, że między nimi jest jeden iloraz, czyli:
$a_4=a_3\cdot q$

$q=\frac{a_4}{a_3}$

$q=\frac{15}{5}=3$

Analogicznie między $a_4$ i $a_5$ jest również jeden iloraz:

$a_5=a_4\cdot q$

$a_5=15\cdot 3=45$

Odpowiedź: Wyraz piąty jest równy $a_5=45$.