Zanim opiszemy jak wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej przypomnijmy podstawowe informacje dotyczące wzoru funkcji liniowej.
W równaniu kierunkowym prostej $y=a\cdot x+b$ współczynnikiem kierunkowym prostej nazywamy liczbę $a\in\mathbb{R}$. Wartość tej liczby możemy wyznaczyć wiedząc, że $$\Large{a=tg\alpha}$$ gdzie $\alpha$ jest kątem nachylenia prostej $y$ do osi $OX$.
Współczynnik kierunkowy prostej – interpretacja geometryczna:
Współczynnik kierunkowy prostej – interpretacja geometryczna:
Uwaga: Rozwiązując zadania dotyczące dotyczące współczynnika kierunkowego prostej używać będziemy zagadnień z trygonometrii. PRZYPOMNIENIE [odnośnik do strony z trygonometrią, czym jest tangens] Równie przydatne okażą się niektóre wartości funkcji trygonometrycznych:
$$tg30°=\frac{\sqrt3}3$$
$$tg45°=1$$
$$tg60°=\sqrt3$$
Tego nie musisz wkuwać! Wybrane wzory matematyczne – CKE strona 15.
$$tg30°=\frac{\sqrt3}3$$
$$tg45°=1$$
$$tg60°=\sqrt3$$
Tego nie musisz wkuwać! Wybrane wzory matematyczne – CKE strona 15.
Przykład: Dla jakiego $m$ funkcja $y=mx+1$ jest nachylona do osi OX pod kątem $30°$ ?
Aby wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej- $m$ skorzystamy z tego, że nachylenie prostej do osi $OX$ wynosi $30°$. Zatem: $$m=tg30°$$$$tg30°=\frac{\sqrt3}3$$$$m=\frac{\sqrt3}3$$
Odpowiedź: Dana funkcja jest nachylona do osi $OX$ pod kątem $30°$ dla $m=\frac{\sqrt3}3$.
Przykład: Prosta przechodzi przez punkt $(2,3)$ i nachylona jest do osi $OX$ pod kątem $45°$. Jaki ma wzór?
Aby wyznaczyć wzór funkcji liniowej musimy znaleźć współczynnik kierunkowy prostej $a$ i wyraz wolny $b$.
$$tg\alpha=a$$ Zatem z tego, że $$tg\alpha=45°$$
Bazując na tabelce podanej w karcie wzorów mamy, że $$\color{navy}{a}=\color{navy}{1}$$
Wyraz wolny znajdziemy podstawiając punkt $(2,3)$ do wzoru ogólnego $y=a\cdot x+b$.
Mamy: $$y=1\cdot x+b$$
$$3=1\cdot 2+b$$
$$3=2+b \hspace{0,5cm}|-2$$
$$b=1$$
Ostatecznie $a=1$ i $b=1$.
Odpowiedź: Szukana prosta ma wzór $y=x+1$.
Przykład: Na rysunku przedstawiona jest prosta $l$ przechodząca przez punkt $(3,-2)$ i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony kąt $\alpha$ nachylenia tej prostej do osi $OX$. Ile wynosi kąt $\alpha$?
Z treści zadania jak i rysunku odczytać możemy, że prosta $l$ przechodzi przez punkt $A=(3,-2)$ oraz $B=(0,0)$.
Wyznaczmy równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. Tworzymy układ równań:
Wyznaczmy równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. Tworzymy układ równań:
$$\left\{\begin{array}{l}0=a\cdot 0+b\\-2=a\cdot 3+b\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l}0=0+b\\-2=3a+b\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l}b=0\\-2=3a+b\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l}b=0\\3a=-2\;\vert:3\end{array}\right.$$
$$\left\{\begin{array}{l}b=0\\a=-\frac23\end{array}\right.$$
Ostatecznie $y=-\frac23x$
Zatem $a=tg\alpha=-\frac23$
Odpowiedź: $tg\alpha$ wynosi $-\frac23$.
4+
