Przedział ufności dla odsetka (proporcji / wskaźnika struktury/ frakcji) obliczamy ze wzoru:

$$P\left(\frac{m}{n} – u_{\alpha}\sqrt{\frac{\frac{m}{n}(1-\frac{m}{n})}{n}} < p < \frac{m}{n} + u_{\alpha}\sqrt{\frac{\frac{m}{n}(1-\frac{m}{n})}{n}}\right) = 1 – \alpha$$

gdzie:
$\frac{m}{n}$ to proporcja wybranej grupy w próbie,
$n$ to liczebność całej próby,
$u_{\alpha}$ to wartość kwantyla $1-\frac{\alpha}{2}$ rozkładu normalnego standaryzowanego dla poziomu istotności $\alpha$.

W przeciwieństwie do przedziału ufności dla średniej i wariancji, tutaj mamy tylko 1 wzór.

Przykłady:

Przykład: Oszacować przedziałowo jaka część młodzieży szkół licealnych pali papierosy, jeżeli w próbie wybranej w losowaniu niezależnym, liczącej 1000 uczniów, 220 osób paliło papierosy. Przyjąć współczynnik ufności 0,9.

Poniższy wzór pozwala wyznaczyć przedział ufności dla odsetka w populacji o rozkładzie normalnym $N(m, \sigma)$:

$$P\left(\frac{m}{n} – u_{\alpha}\sqrt{\frac{\frac{m}{n}(1-\frac{m}{n})}{n}} < p < \frac{m}{n} + u_{\alpha}\sqrt{\frac{\frac{m}{n}(1-\frac{m}{n})}{n}}\right) = 1 – \alpha$$

gdzie:
$n$ to liczebność próby losowej,
$m$ to liczebność wybranej grupy z próby,
$u_{\alpha}$ jest statystyką, spełniającą warunek:
$P(-U_{\alpha}<U<u_{\alpha}) = 1 – \alpha$, gdzie $U$ jest zmienną losową o rozkładzie normalnym $N(m, \sigma)$
Niech:
$m=200$,
$n=1000$,
$\frac{m}{n}=\frac{200}{1000}= 0,2$,
$1-\alpha = 0,9$,
$\alpha = 0,1$,
$1 – \frac{\alpha}{2} = 0,95$,
$u_{1 – \frac{\alpha}{2}} = 1,645$.
Podstawiam do wzoru:

$$P\left(0,2 – 1,645\sqrt{\frac{0,2(1-0,2)}{1000}} < p < (0,2 + 1,645\sqrt{\frac{0,2(1-0,2)}{1000}}\right) = 0,9$$

Zatem:
$$P\left(0,1792 < p < 0,2208\right) = 0,9$$
jest $90\%$ przedziałem ufności.

Przykład: Na 216 zdających zaliczenie ze statystyki uzyskało 162. Zbuduj przedział ufności dla wskaźnika prawdopodobieństwa zdania statystyki na poziomie ufności $1-\alpha = 0,95$.
Niech:
$\frac{m}{n} = \frac{162}{216} = 0,75$,
$1 – \alpha = 0,95$,
$\alpha = 0,05$
$1 – \frac{\alpha}{2} = 0,975$
$u_{0,975} = 1,96$.
Korzystając z powyższego wzoru otrzymujemy:

$$p\in \left(0,75 – 1,96\sqrt{\frac{0,75(1-0,75)}{216}}; 0,75 + 1,96\sqrt{\frac{0,75(1-0,75)}{216}}\right)$$ $$p\in \left(0,633; 0,817\right)$$

Odpowiedź: $p\in \left(0,633; 0,817\right)$.

2+
Martyna Szczygieł