Przedział ufności dla odsetka

Przedział ufności dla odsetka służy do szacowania udziału wybranej cechy w populacji na podstawie próby. Zobacz, jak wykorzystać liczebność próby, zaobserwowany odsetek i poziom ufności do wyznaczenia granic przedziału.

Przedział ufności dla odsetka (proporcji / wskaźnika struktury/ frakcji) obliczamy ze wzoru:

P\left(\frac{m}{n} – u_{\alpha}\sqrt{\frac{\frac{m}{n}(1-\frac{m}{n})}{n}} < p < \frac{m}{n} + u_{\alpha}\sqrt{\frac{\frac{m}{n}(1-\frac{m}{n})}{n}}\right) = 1 – \alpha

gdzie:
$\frac{m}{n}$ to proporcja wybranej grupy w próbie,
$n$ to liczebność całej próby,
$u_{\alpha}$ to wartość kwantyla $1-\frac{\alpha}{2}$ rozkładu normalnego standaryzowanego dla poziomu istotności $\alpha$ .

W przeciwieństwie do przedziału ufności dla średniej i wariancji, tutaj mamy tylko 1 wzór.

Przykłady:

Przykład: Oszacować przedziałowo jaka część młodzieży szkół licealnych pali papierosy, jeżeli w próbie wybranej w losowaniu niezależnym, liczącej 1000 uczniów, 220 osób paliło papierosy. Przyjąć współczynnik ufności 0,9.

Poniższy wzór pozwala wyznaczyć przedział ufności dla odsetka w populacji o rozkładzie normalnym $N(m, \sigma)$ :

P\left(\frac{m}{n} – u_{\alpha}\sqrt{\frac{\frac{m}{n}(1-\frac{m}{n})}{n}} < p < \frac{m}{n} + u_{\alpha}\sqrt{\frac{\frac{m}{n}(1-\frac{m}{n})}{n}}\right) = 1 – \alpha

gdzie:
$n$ to liczebność próby losowej,
$m$ to liczebność wybranej grupy z próby,
$u_{\alpha}$ jest statystyką, spełniającą warunek:
$P(-U_{\alpha}<U<u_{\alpha}) = 1 - \alpha$ , gdzie $U$ jest zmienną losową o rozkładzie normalnym $N(m, \sigma)$
Niech:
$m=200$ ,
$n=1000$ ,
$\frac{m}{n}=\frac{200}{1000}= 0,2$ ,
$1-\alpha = 0,9$ ,
$\alpha = 0,1$ ,
$1 - \frac{\alpha}{2} = 0,95$ ,
$u_{1 - \frac{\alpha}{2}} = 1,645$ .
Podstawiam do wzoru:

P\left(0,2 – 1,645\sqrt{\frac{0,2(1-0,2)}{1000}} < p < (0,2 + 1,645\sqrt{\frac{0,2(1-0,2)}{1000}}\right) = 0,9

Zatem:
$P\left(0,1792 < p < 0,2208\right) = 0,9$
jest $90\%$ przedziałem ufności.

Przykład: Na 216 zdających zaliczenie ze statystyki uzyskało 162. Zbuduj przedział ufności dla wskaźnika prawdopodobieństwa zdania statystyki na poziomie ufności

1-\alpha = 0,95

Niech:

\frac{m}{n} = \frac{162}{216} = 0,75

1 - \alpha = 0,95

\alpha = 0,05

1 - \frac{\alpha}{2} = 0,975

u_{0,975} = 1,96

.
Korzystając z powyższego wzoru otrzymujemy:

p\in \left(0,75 – 1,96\sqrt{\frac{0,75(1-0,75)}{216}}; 0,75 + 1,96\sqrt{\frac{0,75(1-0,75)}{216}}\right)

p\in \left(0,633; 0,817\right)

Odpowiedź: $p\in \left(0,633; 0,817\right)$ .

Przedział ufności dla odsetka – kurs

Jak rozwiązywać zadania?

Napisz wzór.
Wypisz dane: odsetek z próbki, poziom alfa, liczebność n.
Znajdź w tablicach odpowiedni kwantyl $1-\frac{\alpha}{2}$ dla rozkładu normalnego.
Podstaw do wzoru.
Interpretacja.

Wzór:

$P \Big (\frac{m}{n}-\mu_{\alpha} \sqrt{\frac{\frac{m}{n}(1-\frac{m}{n})}{n}} < p < \frac{m}{n}+\mu_{\alpha} \sqrt{\frac{\frac{m}{n}(1-\frac{m}{n})}{n}} \Big) = 1 - \alpha$

To jest bardzo popularny typ zadania

Do tego jest przyjemnym typem zadania, bo do wykorzystania jest tylko 1 wzór ?

PDFy które możesz wydrukować
Teoria | Lekcja video | Zadania

Lekcja 1 - Przedział Ufności dla Odsetka 7:19

Filmik się nie ładuje? Odśwież stronę Pomoc

Wylosowano 190 studentów Wyższej Szkoły Wpływania na Wyborców. Spośród nich 95 nie zdało egzaminu z Języka Perswazji Politycznej. Oblicz punktowe (wartości) i przedziałowe (ufności 0,99) oszacowanie frakcji studentów, którzy nie zdają tego egzaminu. Dla wyliczonego powyżej (dwustronnego) przedziału ufności ustal, czy można ufać stwierdzeniu, że wielkość frakcji wynosi 42%.

Wylosowano 150 studentów Wyższej Szkoły Wpływania na Wyborców. Spośród nich 105 nie zdało egzaminu z Języka Perswazji Politycznej. Oblicz punktowe (wartości) i przedziałowe (ufności 0,99) oszacowanie frakcji studentów, którzy nie zdają tego egzaminu. Dla wyliczonego powyżej (dwustronnego) przedziału ufności ustal, czy można ufać stwierdzeniu, że wielkość frakcji wynosi 62%.

W pewnej firmie ubezpieczeniowej wylosowano niezależnie 150 polis na życie i 100 polis majątkowych. Średnia oraz odchylenie standardowe wieku w próbie posiadaczy polisy na życie wynosiła odpowiednio 45,2 lat i 7 lat, natomiast w próbie posiadaczy polis majątkowych: 51,3 lat i 10 lat.
Wiedząc, że wśród 500 polis wylosowanych niezależnie w badanej firmie 155 było polis na życie, oszacować przedziałowo odsetek polis majątkowych w badanej firmie. Przyjąć współczynnik ufności 0,99.

Autor: Martyna Szczygieł

Przykłady:

Przedział ufności dla odsetka – kurs

Wzór:

Lekcja 1 - Przedział Ufności dla Odsetka 7:19

Komentarze

Dodaj komentarz Anuluj odpowiedź