Zadanie: W pewnym hipermarkecie zatrudnionych jest 90 pracowników. Prawdopodobieństwo, że pracownik się spóźni danego dnia wynosi $p=0.03$.
a) Podać wartość oczekiwana i odchylenie standardowe liczby pracowników, którzy w losowo wybranym miesiącu spóźnili się do pracy.
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym miesiącu do pracy spóźniło się:

  • 2 pracowników
  • więcej niż 3 pracowników
  • nie więcej niż 4 pracowników
Uwaga: Więcej zagadnień matematycznych odnoszących się do powyższego zadania znajdziesz na stronie rozkład Poissona.

Rozwiąż zadanie za pomocą widgetu:

Rozwiązanie:
a) $EX=\lambda =n\cdot p=90 \cdot 0.03=2.7$ – wartość oczekiwana
$s=\sqrt{npq}=\sqrt{90\cdot 0.03 \cdot 0.97}=1.618$ – odchylenie standardowe

b)

  • Spóźniło się 2 pracowników do pracy

Wykorzystamy wzór $P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$

Z poprzedniego punktu wiemy, że $\lambda =2.7$, chcemy obliczyć prawdopodobieństwo $k=2$ sukcesów
$P(X=2)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}=\frac{e^{-2.7}\cdot 2.7^2}{2!}=0.245$

  • Spóźniło się więcej niż 3 pracowników do pracy

$P(X>3)=1-P(X\le 3)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$
$+P(X=3))=1-e^{-2.7}(\frac{2.7^0}{0!}+\frac{2.7^1}{1!}+\frac{2.7^2}{2!}+\frac{2.7^3}{3!})=0.286$

  • Spóźniło się nie więcej niż 4 pracowników do pracy

$P(X\leq 4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$
$+P(X=4)=e^{-2.7}(\frac{2.7^0}{0!}+\frac{2.7^1}{1!}+\frac{2.7^2}{2!}+\frac{2.7^3}{3!}+\frac{2.7^4}{4!})=0.863$

Rozkład Poissona – teoria

$X$ – zmienna losowa o rozkładzie Poissona o dodatnim parametrze $\lambda$ – $X\sim P(\lambda)$, $\lambda>0$,$\lambda=n \cdot p$
1. Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
$$P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}, k\in N_0$$
2. Dystrybuanta rozkładu Poissona
$$F(x)=\sum_{k\le x}e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}, k\in N_0$$
3. Wartość oczekiwana
$$EX=\lambda$$
4. Wariancja
$$Var(X)=\lambda$$

Bibliografia:

  • Rószkiewicz Małgorzata, Statystyka: Kurs podstawowy, Warszawa, EFEKT, 2002, ISBN 83-87338-15-X
  • Kotłowska Maria, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna
0