Centralne Twierdzenie Graniczne

Centralne twierdzenie graniczne wyjaśnia, dlaczego rozkład normalny można wykorzystywać do przybliżania rozkładów sum i średnich wielu niezależnych zmiennych losowych, gdy spełnione są odpowiednie założenia. Poznaj modele standaryzacji dla sum, średnich, liczby sukcesów i proporcji oraz zobacz ich zastosowanie w rozwiązanych przykładach. Na końcu znajdziesz materiały kursowe: film, pliki PDF i dodatkowe zadania.

Czym jest Centralne Twierdzenie Graniczne (CTG)?

Twierdzenie mówi o tym, że rozkład zbioru zmiennych losowych o tym samym rozkładzie (niekoniecznie normalnym) zbiega do rozkładu normalnego (przy n dążącym do nieskończoności).

Jeżeli jesteś na tej stronie nie tylko żeby zdać i zapomnieć : ) to to twierdzenie jest jednym z najważnieszych w nauce, polecam dowiedzieć się więcej np. tutaj

Jeżeli natomiast, chcesz ograniczyć swoje zainteresowania statystyką do zdania egzaminu po najmniejszej linii oporu (nie ma w tym nic złego! ?) to praktyczne zastosowanie mówi nam w jaki sposób możemy wykorzystać rozkład normalny do przybliżenia rozkładu sumy / średniej / proporcji dużej liczby niezależnych zmiennych losowych.

Sposób rozwiązania jest podobny jak w typowych zadaniach rozkładu normalnego, ale "standaryzujemy" zmienna losową w inny sposób-zależny od przyjętego modelu.

Modele

1. CTG dla sum
$\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n\mu}{\sigma\sqrt n}$

2. CTG dla średnich
$\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{ \sqrt n}}$
3. CTG dla prób o rozkładzie Bernoulliego (tw.Demoivre'a-Laplace'a)
$\frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$
4. CTG dla proporcji
$\frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

1. Centralne twierdzenie graniczne dla sum
Twierdzenie mówi, że dla dużej liczby

n

zmienna losowa

S_n=X_1+...+X_n

, gdzie

X_i

ma rozkład normalny

N(m \space \sigma)

ma rozkład:

E(S_n)=n \cdot \mu

Var(S_n)=n \cdot \delta^2

Czyli:

S_n \sim N(n \cdot \mu , \sqrt n \cdot \delta)

Stąd zmienna losową

S_n

standaryzujemy następująco (odejmujemy wartość oczekiwaną i dzielimy przez pierwiastek z wariancji czyli odchylenie standardowe)

\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n\mu}{\sigma\sqrt n}

Dlatego zachodzi:

P\Big(\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n\mu}{\sigma\sqrt n} < x \Big)\to \Phi (x)\space dla\space n \to \infty

Gdzie

\Phi(x)

jest wartością dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego, którego wartości możemy znaleźć w tablicach.

Przykład
Wina może przewieźć obciążenie maksymalnie 900 kg. Waga człowieka jest zmienną losową o rozkładzie normalnym

N(75, 15)

. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy 13 osobach w windzie, limit wagi nie zostanie przekroczony?

Rozwiązanie
Waga pojedynczej osoby

X_i

ma rozkład

N(m,\sigma)=N(75,15)

S_n=X_1+X_2+...+X_n

oznacza sumę wag 13 osóbWaga grupy 13 osób(sumy 13 niezależnych zmiennych losowych) ma rozkład

N(n\cdot m, \sigma \cdot \sqrt n)

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo $P(S_n \le 900)$

Standaryzujemy zmienną losową $S_n$ poprzez odjęcie od niej średniej i podzielenie przez odchylenie standardowe
$P (S_n \le 900)=P \Big(\frac{S_n-n\cdot \mu}{\sigma \sqrt n} \le \frac{900-n \cdot \mu}{\sigma \sqrt n}\Big)=$
Możemy w zapisie zmienić na $U$ , która jest zmienną losową o rozkładzie $N(0,1)$
$=P \Big(U \le \frac{900 -13 \cdot 75}{15\sqrt 13}\Big)=P(U \le -1.385)=\Phi(-1.385)=$
Ponieważ często tablice rozkładu normalnego nie zawierają ujemnych wartości przekształcamy wyrażenie:
$=1-\Phi(-1.385)=1-0.917=0.083$
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że przy 13 osobach limit wagi nie zostanie przekroczony wynosi $8.3\%$ .

2. Centralne Twierdzenie Graniczne dla średnich
Twierdzenie mówi, że dla dużej liczby

n

, zmienna losowa

\overline{X_n}=\frac{x_1+x_2+..x_n}{n}

, gdzie

X_i

ma rozkład normalny

N(\mu, \sigma)

ma rozkład:

E(\overline{X_n})= \mu

oraz

Var(\overline{X_n})=\frac{\delta ^2}{n}

Czyli

\overline{X_n} \sim N(\mu, \frac{\delta}{\sqrt n})

A więc zmienną losową

S_n

standaryzujemy następująco:

P\Big(\frac{\overline{x}- \mu }{\frac{\delta}{ \sqrt n}}\Big) < x \to \Phi(x) \space dla \space n \to \infty

Przykład
Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia waga osoby z grupy 13 osób z poprzedniego przykładu (waga jednej osoby ma rozkład normalny

N(75,15)

) jest większa od 70kg, ale mniejsza od 75kg?

Rozwiązanie
Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo:

P(70 < \overline{x} < 75)

Standaryzujemy zmienną losową

S_n

poprzez odjęcie od niej średniej i podzielenie przez odchylenie standardowe

P\Big( \frac{70-\mu}{\frac{\delta}{\sqrt n}} < \frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\delta}{\sqrt n}} < \frac{75-\mu}{\frac{\delta}{\sqrt n}}\Big)=P\Big(\frac{70-75}{\frac{15}{\sqrt 13}} < U < \frac{75-75}{\frac{15}{\sqrt 13}}\Big)=

=P(-1.2 < U < 0)= P(U < 0)- P(U \le -1.2)= P(U \le 0)- P(U \le -1.2)=

=\Phi(0)=\Phi(-1.2)=\Phi(0)=\Phi(0)-(1-\Phi(1.2))=0.5-(1-0.885)=0.385

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że przy 13 osobach średnia waga będzie w przedziale

(70, 75)

wynosi

38.5\%

3. CTG z rozkładem Bernoulliego (tw. Demoivre'a-Laplace'a)

S_n=X_1+X_2...+X_n

to liczba sukcesów w

n

próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu

p

(gdzie

X_i

przyjmuje wartość 1 i 0).

E(S_n)=n\cdot p

Var(S_n)=n \cdot p \cdot q

q=1-p

Czyli,

S_n

ma rozkład

N( np, \sqrt{np(1-p)})

( przy spełnionych założeniach twierdzenia)Twierdzenie mów, że zmienna losowa

S_n

po standaryzacji dąży do rozkładu normalnego standaryzowanego:

P\Big(\frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} < x \Big) \to \Phi(x) \space przy \space n \to \infty

Przykład
Oszacowano, że pewna fabryka śrub produkuje 2% braków. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w partii 2000 co najmniej 20, ale nie więcej niż 40 okaże się brakami?

Rozwiązanie

p=0.02

rozkład Bernoulliego

m=n \cdot p =2000 \cdot 0.02=40

s^2=n \cdot p \cdot q=2000 \cdot 0.02 \cdot 0.98=39.2

S_n=X_1+...+X_{2000}

P(S_n \in <20, 40>)=P(S_n \le 40)-P(S_n \le 19)=

=P\Big(\frac{S_n-40}{\sqrt{39.2}} \le \frac{40-40}{\sqrt{39.2}}\Big)-P\Big(\frac{S_n-40}{\sqrt{39.2}} \le \frac{19-40}{\sqrt{39.2}}\Big)=

=\Phi(0)-\Phi(-3.354)=0.5-0=0.5

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi 50%.

4. CTG dla frakcji (odsetek/proporcji)
Centralne Twierdzenie Graniczne w tej wersji mówi, że wraz z liczebnością próby rozkładu frakcji w próby zbliża się do rozkładu normalnego o parametrach:

E(\hat p)=p

Var(\hat p)= \frac{pq}{n}

a więc

p \sim N(p,\sqrt{\frac{pq}{n}})

Zatem standaryzujemy następująco:

P\Big( \frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le x \Big) \to \Phi(x) \space dla \space n \to \infty

Uwaga: Musi być spełnione założenie $pq > 5$ oraz $qn> 5$

Przykład
Wśród grupy piesków 37% są rasowe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w grupie 150 piesków odsetek rasowych będzie pomiędzy 30 a 40% ?

Rozwiązanie:
Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo

P(30 < \hat P < 40)

P(30 < \hat P < 40)=P\Big(\frac{0.30-0.37}{\sqrt{\frac{0.37 \cdot 0.67}{150}}} < U < \frac{0.40-0.37}{\sqrt{\frac{0.37 \cdot 0.67}{150}}}\Big)=P(-1.79 < Z=U < 0.77)=

=\Phi(0.77)-\Phi(-1.79)=\Phi(0.77)-(1-\Phi(-1.79))=0.779-(1-0.963)=0.742

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi 74.2%

Bibliografia:

Majsnerowska Małgorzata, Elementarny wykład z rachunku prawdopodobieństwa z zadaniami, Wyd. 3 poszerzone, Wrocław, Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski, 2002, ISBN 83-910055-5-0

Centralne twierdzenie graniczne – kurs

PDFy które możesz wydrukować
Lekcja video | Zadania

Lekcja 1 - Centralne Twierdzenie Granicze 20:10

Filmik się nie ładuje? Odśwież stronę Pomoc

Wiadomo, że czas dojazdu pewnego studenta na uczelnie jest zmienną o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 30 min i odchyleniem standardowym 4 min. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że średni czas dojazdu na uczelnie tego studenta w losowo wybranych pięciu dniach będzie większy niż 32 minuty ale niższy niż 34 minuty?

Wiadomo, że prawdopodobieństwo złamania kręgosłupa przy skoku z pewnej wysokiej trampoliny wynosi 0,01. Z trampoliny skoczyło 3000 śmiałków o równych umiejętnościach. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że kręgosłup złamano więcej niż 32 razy?

Cukier pakowany jest w torebki o normalnej masie 1 kg. W rzeczywistości, w wyniku błędów ważenia, masa pojedynczej torebki ma rozkład normalny o wartości oczekiwanej 1 kg i wariancji $0,025 kg^2$ . Torebki są pakowane w paczki po 10 torebek. Jaki jest procent paczek, nominalnie dziesięcio kilogramowych, które mają masę mniejszą niż 9.5 kg?

Czas oczekiwania na obsługę przy barze w jednej z wrocławskich dyskotek jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 10 min i odchyleniem standardowym 3 min. Jakie jest pr-stwo, że łączny czas obsługi 40 osób będzie zawarty w przedziale od 395 do 412 minut?

Facet ma w szafie 16 koszul białych i 4 czarne. Jakie jest pr-stwo, że na 100 zakładanych koszul będzie mniej niż 78 białych?

Oszacowano, że co piąty student pracuje. Jakie jest pr-stwo, że w losowo wybranej próbie 150 studentów będzie więcej niż 125, ale mniej niż 140 niepracujących studentów?