Typy zadań na rozkład Bernoulliego

Zadanie: W populacji kotów jest 5% angorskich. W kamienicy mieszka 6 kotów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden jest angorski?

Zadanie: Strzelec strzela do tarczy 6 razy. Prawdopodobieństwo, trafienia w pojedynczym strzale wynosi 20%. Oblicz prawdopodobieństwo

  1. 3 trafień
  2. Co najwyżej 3 trafień

Zadanie: Student na egzaminie zna odpowiedź na 75% pytań. Losuje 5 pytań. Określić rozkład zmiennej losowej X oznaczającej liczbę pytań, na które student udzieli poprawnej odpowiedzi. Obliczyć prawdopodobieństwo, że student udzieli poprawnej odpowiedzi na co najmniej 3 pytania.

 

Jak rozpoznać schemat Bernoulliego w zadaniu?

Jeżeli będą spełnione poniższe założenia, do rozwiązania zadania możesz użyć rozkładu Bernoulliego:

  • Mamy określoną liczbę prób (eksperymentów)
  • W każdej pojedynczej próbie (eksperymencie) mamy jedynie 2 możliwości (“sukces” lub “porażka”)
  • Każda eksperyment jest niezależny od innych
  • Prawdopodobieństwo sukcesu w każdym pojedynczym eksperymencie jest takie samo

Przykład: Rzucamy kością 5 razy. Z jakim prawdopodobieństwem wyrzucimy 2 razy liczbę podzielną przez 3?

Rozwiązanie

W tym przypadku pojedynczym eksperymentem jest rzut kością. Eksperyment powtarzamy 5 razy. Sukcesem niech będzie wyrzucenie liczby podzielnej przez 3. Każdy eksperyment jest niezależny od innych, bo wyniki rzutów kością nie mają wpływu na siebie.

Są tylko 2 możliwości w każdym pojedynczym eksperymencie

Prawdopodobieństwo sukcesu w każdym pojedynczym eksperymencie jest takie samo (wynosi 2/6 czyli ⅓)

 

Wzór – Rozkład Bernoulliego

Prawdopodobieństwo osiągnięcia k sukcesów w n próbach, gdzie prawdopodobieństwo osiągnięcia sukcesu w pojedynczej próbie wynosi p wyliczamy wzorem:
$P(X={\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}k})\;=\;\begin{pmatrix}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}n}\\{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}k}\end{pmatrix}\cdot{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}p}^{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}k}\cdot(1-{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}p})^{{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}n}-{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}k}}$

Przykład: Badania wykazały, że 20% Polaków nie posiada karty kredytowej. Z jakim prawdopodobieństwem w grupie 5 Polaków, 2 osoby nie będa posiadać karty kredytowej?

Rozwiązanie

Zaczynamy od wypisania danych:

p=0.2 (prawdopodobieństwo sukcesu – w tym przypadku sukcesem jest nieposiadanie karty kredytowej)

n=5 (“badamy” 5 Polaków czyli dokonujemy 5 “eksperymentów”)

k=2 (chcemy policzyć prawdopodobieństwo 2 sukcesów – 2 osoby nie będą posiadać karty kredytowej)

$P(X={\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}k})\;=\;\begin{pmatrix}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}n}\\{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}k}\end{pmatrix}\cdot{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}p}^{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}k}\cdot(1-{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}p})^{{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}n}-{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}k}}$

$P(X={\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}2})\;=\;\begin{pmatrix}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}5}\\{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}2}\end{pmatrix}\cdot{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}0}{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}.}{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}2}^{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}2}\cdot(1-{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}0}{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}.}{\color[rgb]{0.51, 0.5, 0.0}2})^{{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}5}-{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}2}}$

$=\frac{5!}{2!\cdot(5-2)!}\cdot0.2^2\cdot0.8^3=\frac{3!\cdot4\cdot5}{2!\cdot3!}\cdot0.2^2\cdot0.8^3=10\cdot0.2^2\cdot0.8^3=0.2048$

Średnia, wariancja, odchylenie standardowe w rozkładzie Bernoulliego

W niektórych zadaniach (np. z Centralnego Twierdzenia Granicznego dla rozkładu Bernoulliego), możemy potrzebować wyliczać średnią, odchylenie standardowe i wariancję tego rozkładu.

$X\sim B(n,p)$
$n\in N$
$p\in\lbrack0,1\rbrack,\;q=1-p$

$EX=np$ – wartość oczekiwana
$VarX=npq$ – wariancja
$\sigma=\sqrt{npq}$ – odchylenie standardowe

Co najmniej, co najwyżej

Jeżeli w zadaniu mamy do policzenia liczbę “co najwyżej 3 liczby sukcesów” to musimy policzyć zsumowane prawdopodobieństwo 0, 1, 2 oraz 3 sukcesów. Analogicznie z “co najmniej”. Często w takich przypadkach prościej jest używać zdarzenia odwrotnego.

Przykład: Strzelec strzela do tarczy 6 razy. Prawdopodobieństwo, trafienia w pojedynczym strzale wynosi 20%. Oblicz prawdopodobieństwo
a) Co najmniej 3 trafień
b) Co najwyżej 5 trafień

Rozwiązanie

a) Jeżeli mamy policzyć pradowopodobieństwo co najmniej 3 trafień (sukcesów) to interesują nas zdarzenia, gdy liczba sukcesów wynosi 0,1,2 lub 3

$P(X\leqslant3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$

Następnie wszystkie te prawdopodobieństwa liczymy i sumujemy:

$P(X=0)=\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\cdot0.2^0\cdot(1-0.2)^6$

b) Co najwyżej 5 trafień czyli 0,1,2,3,4 lub 5 sukcesów. Skoro wszystkie możliwe przypadki to 0,1,2,3,4,5 lub 6 sukcesów to zdarzeniem odwrotnym jest 6 sukcesów, co będzie prostsze do policzenia.

$P(X=6)=\begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}\cdot0.2^6\cdot(1-0.2)^0=0.000064$

A więc $P(X\leqslant5)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$$+P(X=4)+P(X=5)=1-P(X=6)=1-0.000064=0.999936$

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w n próbach

Dla n prób w schemacie Bernoulliego obliczamy liczbę $(n+1)p$

  • Jeżeli jest całkowita, to najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów wynosi $(n+1)p-1$ oraz $(n+1)p$ (oba warianty są najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów)
  • Jeżeli obliczona liczba nie jest całkowita, to najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów jest największa liczba całkowita mniejsza od $(n+1)p$
Przykład: Rzucamy 119 razy kością do gry. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba wyrzuconych “szóstek”.

Rozwiązanie

Prawdopodobieństwo wyrzucenia “szóstki” w pojedynczej próbie to $p=1 over 6$ Liczba prób: $n=119$

$(n+1)p = (119+1)\cdot\frac16=20$

Odp. Ponieważ liczba jest całkowita to najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów jest 20 i 19.

(Można łatwo policzyć, że prawdopodobieństwo 19 i 20 sukcesów jest równe)

Przybliżenie rozkładu Bernoulliego rozkładem Poissona dla “dużego n i małego p”

Często w zadaniach dostajemy przykład, który specjalnie ma dane zbyt niewygodne do policzenia na kalkulatorze (i niemożliwe do policzenia “ręcznie”). Wtedy stosujemy rozkład Poissona. Takie zadania można rozpoznać po tym, że próba jest duża (np. n=500) i prawdopodobieństwo sukcesu bardzo małe (np. p=0.002).

Przykład: Fabryka produkuje filiżanki. Około 0.2% z nich jest wadliwych. Oblicz prawdopodobieństwo, że w partii 500 filiżanek, 2 będą wadliwe.

Rozwiązanie

Gdybyśmy wykorzystali rozkład Bernoulliego to otrzymalibyśmy do policzenia wyrażenie:

$P(X=0)=\begin{pmatrix}500\\2\end{pmatrix}\cdot0.002^2\cdot(1-0.002)^{498}$, co byłoby problematyczne bez kalkulatora naukowego.

Dlatego wygodniej w takich sytuacjach skorzystać z rozkładu Poissona.

Rozkład Bernoulliego a rozkład dwumianowy

W Polsce “rozkład Bernoulliego” oraz “rozkład dwumianowy” często stosowane są zamiennie. W literaturze anglojęzycznej rozkład Bernoulliego określa rozkład zero-jedynkowy (model 1 eksperymentu o 2 możliwych wynikach) a rozkład dwumianowy opisuje właśnie tematykę tej strony.

Przykłady

Przykład: W populacji kotów jest 5% angorskich. W kamienicy mieszka 6 kotów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden jest angorski?

Rozwiązanie

Zaczynamy od wypisania danych:

p=0.05 (prawdopodobieństwo sukcesu – w tym przypadku sukcesem jest nieposiadanie karty kredytowej)

n=6 (“badamy” 5 Polaków czyli dokonujemy 5 “eksperymentów”)

$k\geq1$ (chcemy policzyć prawdopodobieństwo co najmniej 1 sukcesu – czyli 1,2,3,4,5 lub 6 sukcesów). Prościej będzie policzyć pr-stwo zdarzenia odwrotnego (0 sukcesów) i odjęcie od 1.

$P(X\geq1) = 1-P(X<1)=1-P(X=0)$
Wzór:
$P(X=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}$

$P(X\geq1)=1-P(X=0)=\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\cdot0.05^0\cdot(1-0.05)^{6}$$=1-1 \cdot 1 \cdot 0.95^5 = 0.265$

Odp: Pr-stwo co najmniej 1 sukcesu wynosi 26.5%

0