Funkcją liniową nazywamy funkcję $f$ określoną wzorem:
$$\Large{y={\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a} \cdot x + {\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b}}$$gdzie ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}$, ${\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b}$ $\in\mathbb{R}$ oraz

  • ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}$ nazywamy ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}współczynnikiem}$ ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}kierunkowym}$ ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45} prostej}$
  • ${\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b}$ nazywamy ${\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}wyrazem}$ ${\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}wolnym}$

Uwaga: Możemy spotkać się z takim zapisem:

  • $y={\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a} \cdot x + {\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b}$ i jest to równanie kierunkowe prostej
  • $Ax + By + C=0$ i jest to równanie ogólne prostej, gdzie $A^2 +B^2 \neq 0$ tj. współczynniki $A$ i $B$ nie są równocześnie równe $0$

Co możemy odczytać z postaci $y=a \cdot x + b$ ?

1) Liczba ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}$ to współczynnik kierunkowy prostej

  • $a=tg \alpha$ [odnośnik do trygonometrii]

2) Punkt $B=(0, {\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b})$ to punkt przecięcia wykresu funkcji liniowej z osią $OY$

3) Miejsce zerowe funkcji liniowej obliczymy ze wzoru $x_0=\frac{-{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b}}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}$ $\Leftrightarrow$ Prosta przecina oś $OX$ w punkcie $A=(x_0,0)$

4) Funkcja liniowa jest

malejąca stała rosnąca
${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}<0$ ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}=0$ ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}>0$

Przykłady

Przykład: W punkcie o jakich współrzędnych wykres funkcji liniowej $y=3x-5$ przecina oś $OY$?
Równanie kierunkowe prostej ma ogólną postać $y={\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a} \cdot x {\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b}$. W naszym zadaniu $y={\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}3} \cdot x + ({\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}-5})$
Zatem
${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}={\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}3}$ i ${\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b}={\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}-5}$
Punkt $B=(0, {\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b})$ to punkt przecięcia wykresu funkcji liniowej z osią $OY$, czyli szukany punkt ma współrzędne $(0, {\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}-5})$
Odpowiedź: Wykres funkcji liniowej $y=3x-5$ przecina oś $OY$ w punkcie $(0, -5)$.

Przykład: Określ, czy dana funkcja jest rosnąca/malejąca/stała oraz znajdź współrzędne punktu przecięcia prostej z osią $OX$.
A. $y=2x+1$
B. $y=-\frac12x+2$
C. $y=\frac13x$
D. $y=1$

Funkcja jest Punkt przecięcia z osią $OY$
A. $y={\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}2}x+{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}1}$ ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}=}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}2}$ ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}>0$ rosnąca ${\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b}={\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}1}$ $(0, {\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}1})$
B. $y={\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}-\frac12}x+{\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}2}$ ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}=}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}-\frac12}$ ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}<0$ malejąca ${\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b}={\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}2}$ $(0, {\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}2})$
C. $y={\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}\frac13}x$ ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}=}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}\frac13}$ ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}>0$ rosnąca ${\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b}={\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}0}$ $(0, {\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}0})$
D. $y={\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}1}$ ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}{\color[rgb]{0.1, 0.1, 0.1}=}{\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}0}$ ${\color[rgb]{0.9, 0.0, 0.45}a}=0$ stała ${\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}b}={\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}1}$ $(0, {\color[rgb]{0.2, 0.2, 0.6}1})$

Przykład: Dana jest funkcja liniowa określona wzorem $f(x)=(\frac13m – 2)x +7$. Wiedząc, że należy do niej punkt $A=(1,4)$ znajdź $m$.

Punkt $A=({\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}1},{\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}4})$ należy do podanej funkcji. Wiemy więc, że:
 
$f({\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}x})={\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}y}$ $\Leftrightarrow$ $f({\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}1})={\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}4}$
 
Mamy że:
 

$f(x)=(\frac13m – 2)x +7$
${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}4}=(\frac13m – 2)$ $\cdot$ ${\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}1} +7$
$4=\frac13m – 2 +7$
$4=\frac13m +5$ $|-\frac13m$
$-\frac13m +4=5$ $|-4$
$-\frac13m=1$ $|:(-\frac13)$
$m=-3$

Odpowiedź: $m=-3$.

Przykład: Prosta o równaniu $y=2x+(3m-6)$ przechodzi przez punkt $A=(1,2)$. Wyznacz niewiadomą $m$.

Podstawmy współrzędne punktu $A=({\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}1},{\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}2})$ do równania funkcji $y=2x+(3m-6)$.
${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}y}=2{\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}x}+(3m-6)$ Podstawmy punkt $A=({\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}1},{\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}2})$
${\color[rgb]{0.0, 0.7, 0.0}2}=2 \cdot {\color[rgb]{1.0, 0.6, 0.0}1}+(3m-6)$
$2=2+3m-6$ $|-3m$
$-3m+2=2-6$
$-3m+2=-4$ $|-2$
$-3m=-6$ $|:(-3)$
$m=2$

Odpowiedź: $m=2$.

Co możemy odczytać z równania ogólnego prostej $Ax + By + C=0$ ?

Jeżeli $A=0$ to prosta jest równoległa do osi OX
$B=0$ jest równoległa do osi OY
$C=0$ przechodzi przez początek układu współrzędnych
czyli punkt $(0, 0)$
Uwaga: Tego nie musisz wkuwać! Wybrane wzory matematyczne – CKE strona 5.
0